使用Python分化Hermite级数并设置导数

前言

Hermite级数分解是一种将一个某种形式的函数表示为一系列多项式之和的技术。该技术被广泛应用于在量子力学和经典力学等领域中。

这篇文章将探讨如何使用Python分化Hermite级数并设置导数。

Hermite级数

Hermite级数的一般定义是：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n H_n(x-a)$

在这个公式中， $H_n$ 是一个Hermite多项式，它可以通过递归定义来计算。Python代码实现如下：

def Hermite(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2*x
    else:
        return 2*x*Hermite(n-1, x) - 2*(n-1)*Hermite(n-2, x)

分化Hermite级数

当我们想要对Hermite级数进行微分时，我们需要利用以下的公式：

$\frac{d^n}{dx^n} (f(x)g(x)) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x)$

使用这个公式，我们可以获得Hermite级数的导数公式：

$\frac{d^m}{dx^m} \left{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n H_n(x-a) \right} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n+m)}(a)}{(n+m)!}(x-a)^{n+m} H_n(x-a)$

我们可以使用以下Python代码实现分化Hermite级数：

def DifferentialHermite(n, m, f, a, x):
    result = 0
    for i in range(n+1):
        k = n - i
        coefficient = f(a+i) / (i * math.factorial(k))
        poly = Hermite(k, x-a)
        result += coefficient * Derivative(poly, m)
    return result

在这个代码中，函数Derivative(poly, m)返回了多项式poly的m阶导数。

以下是一个完整的示例：

import math

def Hermite(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2*x
    else:
        return 2*x*Hermite(n-1, x) - 2*(n-1)*Hermite(n-2, x)

def DifferentialHermite(n, m, f, a, x):
    result = 0
    for i in range(n+1):
        k = n - i
        coefficient = f(a+i) / (i * math.factorial(k))
        poly = Hermite(k, x-a)
        result += coefficient * Derivative(poly, m)
    return result

def Derivative(poly, m):
    for i in range(m):
        poly = [j*k for j, k in zip(poly[1:],range(1,len(poly)))]
    return poly

# 示例
e = math.e
result = DifferentialHermite(3, 2, math.exp, 0, 1)
print(result)

该示例使用exp作为函数，并且计算3阶导数的3次Hermite级数在x=1处的值。输出结果是：