分化Chebyshev级数并在Python中设置导数

什么是Chebyshev级数？

Chebyshev级数是一种在某个区间上逼近函数的方法，由Tschebyscheff在1854年提出，被广泛应用于数值计算和科学工程中。

Chebyshev级数的基本形式为：

$f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(n\arccos(x)) + b_n\sin(n\arccos(x))\Big)$

其中 $a_n$ 和 $b_n$ 为Chebyshev系数，是确定级数逼近函数的关键因素。

如何分化Chebyshev级数？

分化Chebyshev级数是将函数的导数表达式代入到Chebyshev级数公式中，从而得到原函数的逼近解。

以 $f(x)=sin(x)$ 为例，它的全体导数为：

$f(x)=sin(x)$
$f'(x)=cos(x)$
$f”(x)=-sin(x)$
$f”'(x)=-cos(x)$
$\cdots$

令 $f(x)$ 的第 $n$ 个导数为 $f^{(n)}(x)$ ，那么它的分化Chebyshev级数形式为：

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2}a_0^{(n)} + \sum_{j=1}^\infty\Big(a_j^{(n)}\cos(j\arccos(x)) + b_j^{(n)}\sin(j\arccos(x))\Big)$

其中 $a_j^{(n)}$ 和 $b_j^{(n)}$ 为Chebyshev系数，用于确定 $f^{(n)}(x)$ 的Chebyshev级数逼近解。

如何在Python中设置导数？

Python中使用sympy库来求解Chebyshev系数和函数的导数。以下为示例代码：

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义Chebyshev级数函数
def chebyshev(f, N):
    """
    f: 函数
    N: Chebyshev系数个数（级数展开项个数）
    """
    x = sp.symbols('x')
    T = [sp.cos(j * sp.acos(x)) for j in range(N)]
    T[0] = sp.S(1)
    coeffs = [(sp.integrate(f * t, (x, -1, 1)) * 2) / sp.pi for t in T]
    return coeffs

# 定义函数f(x) = sin(x)
def f(x):
    return sp.sin(x)

# 求函数f(x)的导数（一阶）
f1 = sp.diff(f(x), x)

# 求函数f(x)的导数（二阶）
f2 = sp.diff(f1, x)

# 求函数f(x)在[-1, 1]上的Chebyshev系数（一阶导数）
coeffs_f1 = chebyshev(f1, 50)

# 求函数f(x)在[-1, 1]上的逼近函数（一阶导数）
f1_approx = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(coeffs_f1[::-1])
x_vals = np.linspace(-1, 1, 1000)
y_vals_f1 = f1_approx(x_vals)

# 求函数f(x)在[-1, 1]上的Chebyshev系数（二阶导数）
coeffs_f2 = chebyshev(f2, 50)

# 求函数f(x)在[-1, 1]上的逼近函数（二阶导数）
f2_approx = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(coeffs_f2[::-1])
x_vals = np.linspace(-1, 1, 1000)
y_vals_f2 = f2_approx(x_vals)

# 绘图展示函数及其导数
fig, axs = plt.subplots(3, 1, figsize=(8, 12))
axs[0].plot(x_vals, f(x_vals))
axs[0].set_title('f(x)')
axs[1].plot(x_vals, y_vals_f1)
axs[1].set_title('f\'(x)')
axs[2].plot(x_vals, y_vals_f2)
axs[2].set_title('f\'\'(x)')
plt.show()

可以发现，在选择足够多的级数展开项后，Chebyshev级数可以很好的逼近函数及其导数。