用Python在多维系数的Laguerre系列中求导数

一、何为Laguerre多项式

Laguerre多项式是一个确定特殊函数，用于数学和物理学中的许多应用，如量子力学、量子化学、准经典力学等。它可以表示为：

$L_n^\alpha(x) = \frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^\alpha e^{-x})$

其中， $\alpha$ 是Laguerre多项式的标志， $n$ 是多项式的次数， $x$ 是自变量。

二、多维Laguerre系列

对于多个自变量情况下，Laguerre多项式可以扩展为多维Laguerre系列。多维Laguerre系列可以表示为：

$L_{n_1,n_2,\dots,n_k}^{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k}(x_1,x_2,\dots,x_k) = \frac{e^{-\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i x_i}}{(n_1!n_2!\dots n_k!)^{\frac{1}{2}}}\frac{\partial^{n_1+n_2+\dots+n_k}}{\partial x_1^{n_1}\partial x_2^{n_2}\dots \partial x_k^{n_k}}e^{\sum\limits_{i=1}^{k} x_i}$ (公式中省略了每个括号内的乘法符号）

其中， $n_1,n_2,\dots,n_k$ 表示每个自变量的次数， $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k$ 表示与每个自变量对应的Laguerre标志， $x_1,x_2,\dots,x_k$ 表示自变量。这里的求导方式是混合偏导数。

三、代码实现

下面以三维情况下的多维Laguerre系列为例，使用Python实现在多维系数的Laguerre系列中求导数。

import numpy as np

def multiplier(l, alphas, xs):
    res = np.exp(-1.0 * np.dot(alphas, xs))
    for i in range(len(xs)):
        res = res * (xs[i] ** l[i]) / np.sqrt(np.math.factorial(l[i]))
    return res

def diff(l, alphas, xs):
    if sum(l) == 0:
        return multiplier(l, alphas, xs)
    else:
        res = 0
        for i in range(len(xs)):
            if l[i] > 0:
                ltmp = list(l)
                ltmp[i] -= 1
                res += alphas[i] * multiplier(ltmp, alphas, xs)
        return res

#求二维Laguerre系数在(1,2)处的4次求导
alphas = [2, 3]
xs = [1, 2]
l = [0, 4]
print(diff(l, alphas, xs))

上述代码实现了在多维系数的Laguerre系列中求导数的功能，其中multiplier函数实现了Laguerre多项式中的系数计算，diff函数利用该系数计算多维Laguerre系列在指定位置的偏导数。在示例中，我们计算了二维Laguerre系数在 $(1,2)$ 处的4次求导。

四、应用示例

假设有一个关于 $x,y,z$ 的函数 $f(x,y,z) = x^2+y^3+z^4$ ，则它的三维Laguerre系列可以表示为：

$f(x,y,z) = \sum_{n_x,n_y,n_z=0}^{\infty}a_{n_x,n_y,n_z}L_{n_x,n_y,n_z}^{\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z}(x,y,z)$

式中， $a_{n_x,n_y,n_z}$ 是 $L_{n_x,n_y,n_z}^{\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z}(x,y,z)$ 的系数。

我们可以利用上述代码计算出 $f(x,y,z)$ 在 $(1,2,3)$ 处的2次、3次、4次偏导数如下：

import numpy as np

def multiplier(l, alphas, xs):
    res = np.exp(-1.0 * np.dot(alphas, xs))
    for i in range(len(xs)):
        res = res * (xs[i] ** l[i]) / np.sqrt(np.math.factorial(l[i]))
    return res

def diff(l, alphas, xs):
    if sum(l) == 0:
        return multiplier(l, alphas, xs)
    else:
        res = 0
        for i in range(len(xs)):
            if l[i] > 0:
                ltmp = list(l)
                ltmp[i] -= 1
                res += alphas[i] * multiplier(ltmp, alphas, xs)
        return res

#定义函数f
def f(x, y, z):
    return x**2 + y**3 + z**4

#求f在(1,2,3)处的2次偏导数
alphas = [2, 3, 4]
xs = [1, 2, 3]
l = [2, 0, 0]
print(diff(l, alphas, xs))

#求f在(1,2,3)处的3次偏导数
l = [1, 1, 1]
print(diff(l, alphas, xs))

#求f在(1,2,3)处的4次偏导数
l = [0, 0, 4]
print(diff(l, alphas, xs))

上述代码输出了 $f(x,y,z)$ 在 $(1,2,3)$ 处的2次、3次、4次偏导数，其中 $\alpha_x=2,\alpha_y=3,\alpha_z=4$ 。