在 Python 中对具有多维系数的 Hermite 级数进行微分

Hermite 级数是一种特殊的多项式级数，常用于描述量子力学中的粒子运动，以及热动力学等领域中的物理现象。本文将介绍如何使用 Python 对具有多维系数的 Hermite 级数进行微分。

Hermite 级数简介

在数学上，Hermite 级数是一种多项式级数，它由下列通式给出：

$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

其中 $n$ 是非负整数， $H_n(x)$ 是 n 阶 Hermite 多项式， $x$ 是实数。Hermite 级数有很多重要的性质，例如：

Hermite 多项式满足 Rodrigues 公式： $H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$ ；
Hermite 多项式是关于正态分布的特征函数；
Hermite 多项式在量子力学和热动力学等领域中有重要的应用。

对于一个 $m$ 维 Hermite 级数，它可以表示为：

$f(x_1, x_2, \cdots, x_m) = \sum_{n_1,n_2,\cdots,n_m=0}^{\infty} c_{n_1,n_2,\cdots,n_m} H_{n_1}(x_1) H_{n_2}(x_2) \cdots H_{n_m}(x_m)$

其中 $c_{n_1,n_2,\cdots,n_m}$ 是 Hermite 级数的系数。

求解 Hermite 级数的导数

我们要在 Python 中求解 Hermite 级数的导数，即：

$\frac{\partial f(x_1, x_2, \cdots, x_m)}{\partial x_i}$

这里的 $i$ 表示要对哪个变量求导。下面我们演示一下 Python 如何自动计算 Hermite 级数的导数。

导数计算框架

使用 Python 计算 Hermite 级数的导数时，我们需要使用 SymPy 库。具体地，我们可以定义一个多项式变量和系数，然后对多项式变量求导。下面是一个具体的示例：

from sympy import *
init_printing()

# 定义多项式变量和系数
x1, x2, x3 = symbols('x1 x2 x3')
c = IndexedBase('c')

# 定义 Hermite 多项式
n1, n2, n3 = symbols('n1 n2 n3', integer=True)
hn = IndexedBase('H')
f = Sum(c[n1, n2, n3] * hn[n1](x1) * hn[n2](x2) * hn[n3](x3), (n1, 0, oo), (n2, 0, oo), (n3, 0, oo))

对多项式变量求导

对于具有多维系数的 Hermite 级数，我们需要使用 SymPy 库提供的多项式变量定义方式。这种方式允许我们使用 IndexedBase 定义多项式系数，从而方便后续的求导计算。下面是一个 Hermite 级数的例子：

# 定义 Hermite 级数
m = 3    # Hermite 级数的维度
hn = indexed_lambda('H')
c = np.zeros([10] * m)    # 定义 Hermite 级数的系数
for n1, n2, n3 in np.ndindex(c.shape):
    c[n1, n2, n3] = 1 / (2 ** (n## 从 Hermite 级数计算导数

有了上面的导数计算框架，我们可以很容易地从 Hermite 级数中计算导数。具体来说，我们可以首先对 Hermite 多项式进行求导：

```python
h1 = hn[n1].diff(x1, n1)

以上代码计算 $H_{n_1}^{(n_1)}(x_1)$ ，即 $n_1$ 阶 Hermite 多项式关于 $x_1$ 的 $n_1$ 阶导数。

接着，我们可以将 Hermite 多项式和系数 $c_{n_1, n_2, \cdots, n_m}$ 相乘后求和，即可得到 Hermite 级数的导数：

df = Sum(c[n1, n2, n3] * hn[n1](x1) * hn[n2](x2) * hn[n3](x3) * h1, (n1, 0, oo), (n2, 0, oo), (n3, 0, oo))

以上代码计算 $\frac{\partial}{\partial x_1}f(x_1, x_2, \cdots, x_m)$ 。

完整代码如下所示：

from sympy import *
init_printing()

# 定义多项式变量和系数
x1, x2, x3 = symbols('x1 x2 x3')
c = IndexedBase('c')

# 定义 Hermite 多项式
n1, n2, n3 = symbols('n1 n2 n3', integer=True)
hn = IndexedBase('H')
f = Sum(c[n1, n2, n3] * hn[n1](x1) * hn[n2](x2) * hn[n3](x3), (n1, 0, oo), (n2, 0, oo), (n3, 0, oo))

# 计算导数
h1 = hn[n1].diff(x1, n1)    # 计算 H_n1^(n1)(x1)
df = Sum(c[n1, n2, n3] * hn[n1](x1) * hn[n2](x2) * hn[n3](x3) * h1, (n1, 0, oo), (n2, 0, oo), (n3, 0, oo))

# 输出结果
df

结论

本文介绍了如何使用 Python 对具有多维系数的 Hermite 级数进行微分。我们首先简单介绍了 Hermite 级数的定义和性质，然后演示了如何使用 SymPy 库对 Hermite 级数进行求导。具体来说，我们使用了 SymPy 提供的 IndexedBase 类型来定义多项式系数和变量，然后对变量进行求导得到导数表达式。最后，我们将导数表达式与 Hermite 级数相乘并求和，即可得到 Hermite 级数的导数。

以上思路可以拓展到其他类型的多项式级数的求导计算中，例如 Laguerre 级数、Legendre 级数等。