在Python中沿特定轴对具有多维系数的Hermite_e级数进行微分

在数学中，Hermite_e级数是一种常见的数列形式，它是由u_n = 2nu_{n-1} -2(n-1)u_{n-2}以及u_0 = 1, u_1 = 2x定义的。在Python中，我们可以使用Sympy库来计算Hermite_e级数的值。但是，在实际应用中，我们经常需要对多维Hermite_e级数进行微分，并沿特定轴进行求导。本文将介绍如何在Python中实现这个功能。

Hermite_e级数的计算

在Python中，我们可以使用Sympy库来计算Hermite_e级数的值。需要先安装Sympy库：

pip install sympy

然后我们可以使用Sympy库来计算Hermite_e级数：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
u0 = sp.Symbol('u0')
u1 = sp.Symbol('u1')
n = sp.Symbol('n')

u = sp.Function('u')(n)
f1 = sp.Eq(u, sp.Dummy())
f2 = sp.Eq(u.subs(n, 0), u0)
f3 = sp.Eq(u.subs(n, 1), u1)
f4 = sp.Eq(u.subs(n, n), 2*n*u.subs(n, n-1) - 2*(n-1)*u.subs(n, n-2))

sols = sp.dsolve((f1, f2, f3, f4), u)
sols

这段代码将返回Hermite_e级数的通解，即：

u(n) == C0*hermite(n, x) + C1*x*hyper(-n/2, 1/2, -x**2/4)

其中，hermite(n, x)和hyper(a, b, x)分别是Sympy中的Hermite函数和超几何函数。C0和C1是常数。

Hermite_e级数的多维数组表示

在实际应用中，Hermite_e级数通常表示成多维数组的形式。例如，二维Hermite_e级数的表示形式如下：

u(i, j) = C0*hermite(i, xi)*hermite(j, xj) + C1*xi*hermite(i, xi)*hyper(-j/2, 1/2, -xj**2/4) + C2*xj*hermite(j, xj)*hyper(-i/2, 1/2, -xi**2/4) + C3*xi*xj*hyper(-i/2, -j/2, -xi**2/4)*hyper(1/2, 1/2, -xj**2/4)

其中，xi和xj分别是x和y的变量。C0、C1、C2、C3是常数。对于更高维的Hermite_e级数也有类似的表示形式。

在Python中，我们可以使用NumPy库来表示多维Hermite_e级数。需要先安装NumPy库：

pip install numpy

然后我们可以将一个二维Hermite_e级数表示成NumPy数组的形式：

import numpy as np
from scipy.special import hermite, hyperu

def h(i, x):
    return hermite(i)(x)

def hu(a, b, x):
    return hyperu(a, b, x)

def hermite_e_2d(xi, xj, C0, C1, C2, C3):
    u = np.empty((xi.size, xj.size))
    for i in range(xi.size):
        for j in range(xj.size):
            u[i, j] = C0*h(i, xi)*h(j, xj) + C1*xi[i]*h(i, xi)*hu(-j/2, 1/2, -xj[j]**2/4) \
            + C2*xj[j]*h(j, xj)*hu(-i/2, 1/2, -xi[i]**2/4) + C3*xi[i]*xj[j]*hu(-i/2, -j/2, -xi[i]**2/4)*hu(1/2, 1/2, -xj[j]**2/4)
    return u

Hermite_e级数的沿特定轴微分

如果需要对多维Hermite_e级数沿特定轴进行微分，我们可以使用NumPy库的gradient函数。例如，如果需要沿x轴对二维Hermite_e级数进行微分，可以使用以下代码：

C0 = 1
C1 = 2
C2 = 3
C3 = 4
xi = np.linspace(-1, 1, 11)
xj = np.linspace(-1, 1, 21)

u = hermite_e_2d(xi, xj, C0, C1, C2, C3)
du_dx = np.gradient(u, xi, axis=0)

其中，np.gradient函数的第一个参数表示要求导的数组，第二个参数表示求导的变量，第三个参数表示沿哪个轴进行求导（axis=0表示沿x轴求导）。

完整的代码示例

下面是完整的代码示例：

import sympy as sp
import numpy as np
from scipy.special import hermite, hyperu

x = sp.Symbol('x')
u0 = sp.Symbol('u0')
u1 = sp.Symbol('u1')
n = sp.Symbol('n')

u = sp.Function('u')(n)
f1 = sp.Eq(u, sp.Dummy())
f2 = sp.Eq(u.subs(n, 0), u0)
f3 = sp.Eq(u.subs(n, 1), u1)
f4 = sp.Eq(u.subs(n, n), 2*n*u.subs(n, n-1) - 2*(n-1)*u.subs(n, n-2))

sols = sp.dsolve((f1, f2, f3, f4), u)
sols

def h(i, x):
    return hermite(i)(x)

def hu(a, b, x):
    return hyperu(a, b, x)

def hermite_e_2d(xi, xj, C0, C1, C2, C3):
    u = np.empty((xi.size, xj.size))
    for i in range(xi.size):
        for j in range(xj.size):
            u[i, j] = C0*h(i, xi)*h(j, xj) + C1*xi[i]*h(i, xi)*hu(-j/2, 1/2, -xj[j]**2/4) \
            + C2*xj[j]*h(j, xj)*hu(-i/2, 1/2, -xi[i]**2/4) + C3*xi[i]*xj[j]*hu(-i/2, -j/2, -xi[i]**2/4)*hu(1/2, 1/2, -xj[j]**2/4)
    return u

C0 = 1
C1 = 2
C2 = 3
C3 = 4
xi = np.linspace(-1, 1, 11)
xj = np.linspace(-1, 1, 21)

u = hermite_e_2d(xi, xj, C0, C1, C2, C3)
du_dx = np.gradient(u, xi, axis=0)