在Python中对Hermite系数进行求导

Hermite多项式的一大优势就是它的非常高效。它被广泛地用于数字计算和物理模拟领域，但是它的数值求导是一个比较困难的问题。在这篇文章中，我们将会学习在Python中怎样对Hermite系数进行求导。

什么是Hermite多项式

Hermite多项式是一种生成函数，它由下面的递推关系式定义：

$H_n(x) = (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

这个式子的解释是：第n个Hermite多项式是一个二次高斯函数的n次导数除以它本身，再乘上-1的n次幂。

这些函数有形如 $x^n$ ， $x^{n-1}$ 和 $x^{n-2}$ 的项。在一些数学问题中，Hermite多项式是一个极其有用的基础函数。

下面是一个使用Python代码生成Hermite多项式的示例：

import numpy as np

def hermite(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return 2 * x
    else:
        return 2 * x * hermite(n-1, x) - 2 * (n-1) * hermite(n-2, x)

# Example
x = np.linspace(-5, 5, 200)
fig, ax = plt.subplots()
for i in range(5):
    ax.plot(x, hermite(i, x), label=f" $H_{i}(x)$ ")
ax.legend()
plt.show()

这个代码生成了Hermite多项式的前5项，并画出了它们的图像。

求导

通过Hermite多项式的定义可以看出，求导是一个非常开始的任务。直接对原始函数求导将会得到非常复杂的表达式，因此另一种方法是对Hermite多项式的系数求导。在这个方法中，应用求导的线性性将会非常舒适。

随着n的增大，Hermite多项式变得越来越复杂，因此我们需要一种快速的和通用的算法来将这个高阶多项式转换为它的系数。

Hermite多项式的系数可以由下式确定：

$\frac{H_n(x)}{n!} = \sum_{k=0}^{n/2}\frac{(-1)^k}{(n-2k)!k!(n/2-k)!}2^{n-2k}x^{n-2k}$

Hermite系数之间相互独立，我们可以分别求出每一个系数的导数。利用原方程的递推公式，求导后，我们可以得到一个简单的递推公式：

$\frac{d}{dx}H_n(x) = 2nH_{n-1}(x)$

下面是计算任意Hermite多项式系数的代码：

def hermite_coeff(n):
    coeffs = np.zeros(n+1)
    coeffs[-1] = 1
    for k in range(1, n+1):
        coeffs[-k-1] = -2 * (n-k+1) * coeffs[-k]
    return coeffs

# Example
hermite_coeff(3)

这个代码生成了Hermite多项式系数。

接下来，我们需要一个方法来计算Hermite多项式系数的导数。这个方法使用递推公式逐个计算系数的导数。

def dhermite_coeff(n):
    coeffs = np.zeros(n+1)
    coeffs[-2] = 2
    for k in range(3, n+1):
        coeffs[-k] = -2*(n-k+2)*coeffs[-k+1] +2*(n-k+1)*coeffs[-k+2]
    return coeffs[:-1]

# Example
dhermite_coeff(3)

这个代码生成了Hermite多项式系数的一阶导数。

现在我们可以通过先计算Hermite系数，再计算它们的一阶导数来得到一阶导数的系数。下面是代码实现：

def hermite_deriv(n, x):
    coeffs = dhermite_coeff(n)
    return np.polyval(coeffs, x)

# Example
x = np.linspace(-5, 5, 200)
fig, ax = plt.subplots()
for i in range(5):
    ax.plot(x, hermite_deriv(i, x), label=f" $dH_{i}(x)/dx$ ")
ax.legend()
plt.show()

这个代码生成了Hermite多项式的前5个一阶导数，并画出了它们的图像。