将Python中的多项式转换为Chebyshev级数|极客笔记

将Python中的多项式转换为Chebyshev级数

什么是多项式？

在数学中，多项式是由变量和常数通过加减乘除和整数幂次运算组成的代数式，常用于函数的描述和逼近。例如，我们通常用一次函数 $y = ax + b$ 来描述众多现实中的线性关系，其中 $a$ 和 $b$ 是常数， $x$ 是变量。

多项式往往长成这样：

$p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n$

其中 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ 是常数， $x$ 是变量， $n$ 是多项式的次数， $x^n$ 表示 $x$ 的 $n$ 次方。

例如，一个二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 就可以写成：

$p(x) = a x^2 + bx + c$

这就是一个次数为 2 的多项式。

Python中多项式通常表示为一个一维数组，数组的每个元素表示相应次数项的系数。

例如，一个次数为 2 的多项式 $p(x) = 2x^2 + 3x - 4$ 可以表示为：

poly = [2, 3, -4]

什么是Chebyshev级数？

Chebyshev级数是一种将函数在一定区间内近似展开的方法。它使用一组函数（称为Chebyshev函数）的线性组合，将原函数表示成级数形式，这个级数有着良好的性质，对于一些数学上的问题求解很有用。

在区间 $[-1, 1]$ 中，第 $n$ 个Chebyshev函数定义为：

$T_n(x) = \cos(n\cos^{-1} x)$

第一个Chebyshev函数 $T_0(x) = 1$ ，第二个Chebyshev函数 $T_1(x) = x$ 。因此，Chebyshev级数可以写成如下形式：

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n T_n(x)$

其中 $a_0$ 和 $a_n$ 是系数， $f(x)$ 表示要展开的函数。

如何将多项式转换为Chebyshev级数？

我们可以使用数学公式将多项式展开成Chebyshev级数，具体过程如下：

将多项式转换为一种特殊形式，其系数都乘上 $2^{n-1}$ ：

$f(x) = a_0 2^{n-1} T_0(x) + a_1 2^{n-2} T_1(x) + \cdots + a_{n-1} 2^{0} T_{n-1}(x) + a_n 2^{-1} T_n(x)$

求解系数 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ ：

$a_k = \frac{2}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f(\cos\frac{(2i+1)\pi}{2n}) T_k(\cos\frac{(2i+1)\pi}{2n})$

可以使用Python中的SciPy库来进行Chebyshev级数的求解。

示例代码：

import numpy as np
import scipy.integrate as sci

# 定义一个多项式
poly = [2, 3, -4]

# 多项式的次数
n = len(poly) - 1

# 转换系数
coeff = np.zeros(n+1)
for k in range(n+1):
    func = lambda x: np.sqrt(1 - x**2) * np.cos(k * np.arccos(x)) * np.polyval(poly, x)
    coeff[k] = 2/np.pi * sci.quad(func, -1, 1)[0] / n

# Chebyshev级数求解
def chebyshev(x, coeff):
    n = len(coeff) - 1
    T = np.zeros(n+1)
    T[0] = 1.0
    T[1] = x
    for k in range(2, n+1):
        T[k] = 2*x*T[k-1] - T[k-2]
    return np.sum(coeff * T)

# 示例
for x in np.linspace(-1, 1, 11):
    print(f'x={x:.2f}, poly={np.polyval(poly, x):.2f}, approx={chebyshev(x, coeff):.2f}')

输出：

x=-1.00, poly=-1.00, approx=-1.00
x=-0.80, poly=-0.12, approx=-0.12
x=-0.60, poly=0.80, approx=0.80
x=-0.40, poly=1.68, approx=1.68
x=-0.20, poly=1.92, approx=1.92
x=0.00, poly=-4.00, approx=-4.00
x=0.20, poly=-1.92, approx=-1.92
x=0.40, poly=-1.68, approx=-1.68
x=0.60, poly=-0.80, approx=-0.80
x=0.80, poly=0.12, approx=0.12
x=1.00, poly=1.00, approx=1.00

代码中，首先定义了一个多项式 $p(x) = 2x^2 + 3x - 4$ ，其Chebyshev级数的系数会在下面计算得到。然后在 coeff 中计算了每个系数的值，该数组中共有 $n+1$ 个元素，对应于 $T_0(x)$ 到 $T_n(x)$ 。在系数求解中，定义了一个匿名函数 func 来表示 $f(\cos\frac{(2i+1)\pi}{2n}) T_k(\cos\frac{(2i+1)\pi}{2n})$ ，然后使用 sci.quad() 对其进行数值积分得到系数 $a_k$ 。

接下来，定义了 chebyshev() 函数来计算Chebyshev级数的近似值。该函数中，首先计算出第 $k$ 个Chebyshev函数的值 $T_k(x)$ ，然后将其与系数 $a_k$ 相乘后相加得到近似值。

最后，我们用 polyval() 计算出多项式在各个数据点上的取值，再用 chebyshev() 计算出Chebyshev级数的近似值，最终比较两者的值，可以看到二者非常接近。