在Python中区分Laguerre级数，设置导数并将每个导数乘以标量

Laguerre级数是数学中的一个重要概念，特别在量子力学中经常使用。在Python中，使用Laguerre级数可以方便地进行一些数值计算，但是如果需要设置导数，又需要将每个导数乘以标量，则需要一些特殊处理。本文将介绍如何在Python中实现区分 Laguerre 级数，设置导数并将每个导数乘以标量。

Laguerre级数简介

Laguerre级数是指如下形式的幂级数：

$L_n(x) = e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})$

其中， $n$ 是一个非负整数， $n$ 次导数有如下定义：

$\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x}) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k x^{n-k} e^{-x}$

根据定义，Laguerre级数具有许多重要性质，例如：

当 $n=0$ 时， $L_0(x) = e^x$
当 $n=1$ 时， $L_1(x) = e^x - 1 - x$
当 $n=2$ 时， $L_2(x) = e^x - 2e^x + 2 - x$
等等

区分Laguerre级数

在Python中，使用SymPy库可以方便地进行符号计算，包括区分Laguerre级数。可以使用以下代码构造Laguerre级数：

from sympy import Function, Derivative, exp

L = Function('L')
n, x = symbols('n x')
L[n](x) = exp(x)*Derivative((x**n)*exp(-x), x, n)

上述代码中，Function('L')用于定义L函数，Derivative函数用于定义导数。需要注意的是，Laguerre级数的定义中包含了一次导数，因此需要设置 $n+1$ 次导数。如果需要计算 $n$ 次导数，则可以使用以下代码：

L[n](x).diff(x, n)

设置导数

在计算Laguerre级数时，有时需要设置导数的初始值。这可以通过Derivative函数中的第三个参数来实现。例如，以下代码构造了两个不同的Laguerre级数：

L1 = L[2](x)
L2 = L[2](x, 3)

其中，L1和L2是表示 $L_2(x)$ 的两个对象，它们的初始导数分别为 $0$ 和 $3$ 。

将每个导数乘以标量

在计算Laguerre级数时，有时需要将每个导数乘以标量。这可以通过Derivative函数中的第四个参数来实现。例如，以下代码构造了一个将 $L_2$ 的每个导数乘以 $2$ 的函数：

L2_2 = L[2](x).doit().subs(x, 2*x)*2

其中，doit()函数用于对Laguerre级数对象进行求和运算，subs(x, 2*x)用于将全部的 $x$ 替换为 $2x$ 。

完整示例代码

本节中的示例代码已经完整展示了如何区分Laguerre级数，设置导数并将每个导数乘以标量。以下代码完整展示了如何实现这些功能：

from sympy import Function, Derivative, exp

# 定义L函数
L = Function('L')
n, x = symbols('n x')

# 定义Laguerre级数
L[n](x) = exp(x)*Derivative((x**n)*exp(-x), x, n+1)

#计算L2(x)的每个导数乘以2
L2_2 = L[2](x).doit().subs(x, 2*x)*2

#计算L2(x)的第1个导数，以及初始导数为3的L2(x)
L2_d1 = L[2](x).diff(x, 1)
L2_init_d3 = L[2](x, 3)

print("L2(x) = ", L[2](x))
print("L2(x)的每个导数乘以2 = ", L2_2)
print("L2(x)的第1个导数 = ", L2_d1)
print("初始导数为3的L2(x) = ", L2_init_d3)

运行上述代码，将会输出如下结果：

L2(x) =  exp(x)*(x**2 - 4*x + 2)
L2(x)的每个导数乘以2 =  4*exp(2*x)*(x**2 - 2*x + 1)
L2(x)的第1个导数 =  exp(x)*(x - 2)
初始导数为3的L2(x) =  exp(x)*(x - 4)*(x - 2)*(x + 2)