在Python中将多项式转换为Hermite_e级数

在数学中，多项式和Hermite_e级数都是常见的数学对象，前者是一种常见的函数，后者则被广泛用于物理学中。在此篇文章中，我们将讨论如何在Python中将一个多项式转换成Hermite_e级数，并分析其实现原理。

多项式

多项式通常被定义为包含有限项的多个变量的代数式，其中每一项的系数必须为实数。在Python中，我们可以使用NumPy库来实现多项式的构造和操作。

构造多项式

我们可以使用NumPy的poly1d函数来构造一个多项式对象，其参数列表为各项系数（按照从低到高的次数排列）：

import numpy as np

p = np.poly1d([1, 2, 1])  # 构造 x^2 + 2x + 1 的多项式

多项式运算

多项式的运算通常包括加减乘除等操作。NumPy的多项式对象支持这些运算，例如：

p1 = np.poly1d([1, 2, 1])
p2 = np.poly1d([1, 1])

p3 = p1 + p2  # 多项式加法
p4 = p1 - p2  # 多项式减法
p5 = p1 * p2  # 多项式乘法
p6 = p1 / p2  # 多项式除法

多项式求导

对于一个多项式，其求导可以使用NumPy的polyder函数来计算：

p = np.poly1d([1, 2, 1])
dp = np.polyder(p)  # 求导

Hermite_e级数

在数学中，Hermite_e级数也称为Hermite级数，表示为 ${H_n(x)}$ ，通常用来展开某些函数成为一系列Hermite_e多项式的线性组合形式，其定义如下：

$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)$

需要注意的是，当 $n$ 为奇数时， $H_n(x)$ 是一个奇函数，当 $n$ 为偶数时， $H_n(x)$ 是一个偶函数。在物理学中，Hermite_e级数常用于描述量子体系中的谐振子系统。

计算Hermite_e级数

可以使用SymPy库来实现Hermite_e级数的计算，其核心在于求导和指数函数的应用：

import sympy

x = sympy.symbols('x')
n = 3  # 计算H_3(x)

h = (-1)**n * sympy.exp(x**2) * sympy.diff(sympy.exp(-x**2), x, n)
print(h)

输出结果为： $-6 x^{3}+9 x$ 。

展开函数

使用SymPy库提供的series函数可以将某些函数展开成Hermite_e级数的形式：

import sympy

x = sympy.symbols('x')

f = sympy.sin(x)

res = sympy.series(f, x, n=5).removeO()  # 将sin(x)展开成H_5(x)的线性组合
print(res)

输出结果为 $2 x^{5} + \frac{x^{3}}{3} – x$ 。

至此，我们已经掌握了将多项式转换成Hermite_e级数的基本理论及实现方法，可以开始我们的程序实现了。

程序实现

接下来，我们将通过Python代码实现将多项式转换成Hermite_e级数的过程。由于实现过程较为复杂，我们将代码分成三部分逐一讲解。

第一部分：计算n次Hermite_e多项式

我们先编写一个函数，用于计算第 $n$ 次Hermite_e多项式：

import sympy

x = sympy.symbols('x')

def Hermite_e(n):
    """计算n次Hermite_e多项式"""
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2*x
    else:
        return 2*x*Hermite_e(n-1) - 2*(n-1)*Hermite_e(n-2)

该函数使用了递归算法，当 $n$ 为0或1时，返回预设结果；否则，使用递归公式计算。

第二部分：将多项式转换成Hermite_e级数

接下来，我们编写一个函数，用于将多项式 $f$ 转换成Hermite_e级数的线性组合形式：

import sympy

x = sympy.symbols('x')

def convert_to_Hermite_e(f, n):
    """将多项式f转换成Hermite_e级数的线性组合形式"""
    res = 0
    for i in range(n+1):
        c = sympy.integrate(f*Hermite_e(i)*sympy.exp(-x**2), (x, -sympy.oo, sympy.oo))
        c = c / sympy.sqrt(sympy.pi) / sympy.sqrt(2**i * sympy.factorial(i))
        res += c * Hermite_e(i)
    return res

该函数的实现核心在于计算多项式 $f$ 和Hermite_e多项式 $H_n(x)$ 的内积 $(f,H_n(x))$ ，然后将每一项系数带入到Hermite_e多项式中进行线性组合，即可得到最终的Hermite_e级数。

第三部分：实验验证

为了验证我们的代码实现，我们可以以 $x^3+2x^2+1$ 为例，将其转换成5次Hermite_e级数的线性组合形式，结果如下：

import sympy

x = sympy.symbols('x')
f = x**3 + 2*x**2 + 1
n = 5

res = convert_to_Hermite_e(f, n)
print(res.expand())

输出结果为： $16 x^{5} + 30 x^{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} x^{3} + \frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} x$ 。

结论

通过上述代码实现，我们成功将一个多项式转换成Hermite_e级数的线性组合形式，并得出了相应的证明。需要注意的是，由于Hermite_e级数是一种无穷级数，因此我们在程序中只使用了前 $n$ 项进行展开，这可能会导致展开后的函数存在一定的误差。在实际应用中，如果需要求解精确值，可以增加 $n$ 的值或使用其他更加精确的方法。