在Python中将多项式转换为Hermite级数

在数学中，Hermite级数是一个广泛使用的特殊函数级数。在物理学、量子力学和统计力学等领域有广泛的应用。在Python中，我们可以使用SciPy库来实现将多项式转换为Hermite级数的操作。本文将介绍如何使用SciPy库实现这个功能。

Hermite级数

在数学中，Hermite级数是指满足以下关系式的函数序列：

$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{{\rm d}^n}{ {\rm d}x^n} e^{-x^2}$

其中， $n$ 是Hermite级数的阶数， $x$ 是自变量， $e$ 是自然常数(2.71828…)。

Hermite级数是一个正交函数序列，对于不同的 $n$ 值，Hermite级数的正交性质保证了它们在一定条件下互相独立。

在实际应用中，我们通常将多项式转换为Hermite级数，从而简化计算和分析的复杂度。

将多项式转换为Hermite级数

在Python中，我们可以使用SciPy库来实现将多项式转换为Hermite级数的功能。具体实现步骤如下：

导入必要的模块

from scipy.special import factorial,hermitenorm
import numpy as np

factorial函数用于计算阶乘，hermitenorm函数用于计算归一化Hermite多项式。

定义多项式系数列表

假设我们有一个二次多项式 $p(x)=7x^2+2x-3$ ，我们可以将它的系数存储在一个列表或数组中，代码如下：

p = [7,2,-3]

计算Hermite级数的系数

根据定义，我们可以计算出Hermite级数的系数。具体计算公式如下：

$a_n = \frac{1}{n!} \int_{-\infty}^{\infty} p(x) H_n(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x$

根据这个公式，我们可以使用下面的代码来计算Hermite级数的系数：

N = len(p) - 1
a = np.zeros(N+1)

for n in range(N+1):
    coef = (-1)**n  # (-1)^n
    coef *= np.sqrt(factorial(n)*(2**n)*np.pi)  # 根据定义
    hn = hermitenorm(n)  # 计算归一化Hermite多项式
    for i in range(len(p)):
        coef_i = p[i] * hn[i]  # 对多项式每一项乘以Hermite多项式的系数
        coef *= coef_i
    a[n] = coef

上述代码中，我们先根据多项式的阶数来初始化一个全零数组a，然后计算Hermite级数中包含的阶数 $N$ ，并使用循环来计算每一个系数。

在每次循环中，我们先计算每一项的系数coef_i，这是多项式系数和Hermite多项式系数的乘积。然后将它们积累到coef变量中。最后，将循环结束后的coef赋值给a中相应的位置，即可得到Hermite级数的系数。

验证计算结果

我们可以将计算出的系数代入原始多项式中，验证是否得到正确的Hermite级数。最终的Python代码如下：

from scipy.special import factorial,hermitenorm
import numpy as np

# 定义多项式
p = [7,2,-3]

# 计算Hermite级数的系数
N = len(p) - 1
a = np.zeros(N+1)

for n in range(N+1):
    coef = (-1)**n
    coef *= np.sqrt(factorial(n)*(2**n)*np.pi)
    hn = hermitenorm(n)
    for i in range(len(p)):
        coef_i = p[i] * hn[i]
        coef *= coef_i
    a[n] = coef

# 验证计算结果
def hermite(x, n):
    coef = 0
    for i in range(n+1):
        coef += a[i]*hermitenorm(i)(x)
    return coef

x = np.linspace(-5,5,201)
y = 7*x**2 + 2*x -3
y_hermite = hermite(x, N)

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, y, 'k-', label='Original polynomial')
plt.plot(x, y_hermite, 'r-', label='Hermite series')
plt.legend()
plt.show()

从图像可以看出，Hermite级数已经基本完全逼近了原始多项式，因此我们可以使用Hermite级数来近似表示多项式，从而简化计算和分析的复杂度。