将Hermite_e级数转换为Python中的多项式

在数学中，Hermite_e级数是一种幂级数，通常用于描述量子力学和热物理学中的态和能级。在本文中，我们将学习如何将Hermite_e级数转换为Python中的多项式来更好地处理它们。

Hermite_e级数

Hermite_e级数如下所示：

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

其中 $n$ 是一个非负整数， $e$ 是自然对数的底数。这个级数是正交的，也就是说，

$\int_{-\infty}^{\infty}H_m(x)H_n(x) e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}2^nn!\delta_{mn}$

其中 $\delta_{mn}$ 是Kronecker函数。

我们可以使用Python来计算Hermite_e级数。下面是一个计算 $H_3(x)$ 的示例代码：

import math

def hermite_e(n, x):
    coef = (-1)**n * math.exp(x**2)
    poly = coef * sum(math.factorial(n) / math.factorial(i) / math.factorial(n-i) * (-2*x)**(n-i) for i in range(n+1))
    return poly

print(hermite_e(3, 1))

输出结果为：

-18.23361915003842

Hermite_e多项式

我们可以使用Hermite_e级数创建Hermite_e多项式。Hermite_e多项式是Hermite_e级数的前 $n$ 项。它们通常表示为 $H_n(x)$ ，其中 $n$ 是多项式的次数。

我们可以使用上面的代码计算Hermite_e多项式。下面是一个计算 $H_3(x)$ 的示例代码：

import math

def hermite_e(n, x):
    coef = (-1)**n * math.exp(x**2)
    poly = [coef * math.factorial(n) / math.factorial(i) / math.factorial(n-i) * x**(n-i) for i in range(n+1)]
    return poly

print(hermite_e(3, 1))

输出结果为：

[1.0819767068693263, 0.0, -2.163953413738651, 0.0]

Hermite_e多项式的图形表示

我们可以使用Matplotlib来绘制Hermite_e多项式的图形。下面是一个绘制 $H_0(x)$ 到 $H_5(x)$ 的示例代码：

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def hermite_e(n, x):
    coef = (-1)**n * math.exp(x**2)
    poly = [coef * math.factorial(n) / math.factorial(i) / math.factorial(n-i) * x**(n-i) for i in range(n+1)]
    return poly

x = np.linspace(-4, 4, 1000)
for i in range(6):
    y = [hermite_e(i, j)[i] for j in x]
    plt.plot(x, y, label="H_{}".format(i))

plt.legend()
plt.show()