极客笔记将Chebyshev级数转换为Python中的多项式
介绍
Chebyshev多项式是定义在区间[-1,1]上的一组正交多项式。它们可以用于各种数学和科学问题，例如在数值计算中用于数值积分和微分方程的求解，常使用Chebyshev级数表示来实现这些计算。在本文中，我们将讨论如何将Chebyshev级数转换为Python中的多项式。
Chebyshev级数
Chebyshev级数是可以用于表示函数的无限级数。如果将函数f(x)表示为f(x)=a0/2+sum(ai*T(x))，其中T(x)是Chebyshev多项式，幂级数的系数ai定义如下：
ai = 2/pi_integral(-1,1)(f(x)_T(i,x)/sqrt(1-x^2)dx)
其中integral(-1,1)表示对-1到1上的积分。可以看出，ai系数是由函数f(x)与Chebyshev多项式T(i,x)的乘积积分得到的。将这些系数乘以对应的多项式并加起来，就得到了f(x)的Chebyshev级数表示。
下面是用Chebyshev级数表示函数cos(x)的Python示例代码：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def T(n, x):
# 计算Chebyshev多项式的递归公式
if n == 0:
return 1
elif n == 1:
return x
else:
return 2 * x * T(n-1, x) - T(n-2, x)
def f(x):
# 计算cos(x)函数
return np.cos(x)
def a_coeff(n):
# 计算Chebyshev系数的积分
integrand = lambda x: f(x) * T(n, x) / np.sqrt(1 - x**2)
return 2 / np.pi * quad(integrand, -1, 1)[0]
def C_series(x, N):
# 计算Chebyshev级数
C = a_coeff(0) / 2
for i in range(1, N+1):
C += a_coeff(i) * T(i, x)
return C
N = 50
x = np.linspace(-1, 1, 100)
plt.plot(x, f(x), label='cos(x)')
plt.plot(x, C_series(x, N), label='Chebyshev series, N=%d' % N)
plt.legend()
plt.show()
运行上述代码可以得到下图，其中蓝色的曲线是cos(x)，黄色的曲线是其对应的Chebyshev级数表示。
多项式的表示
在Python中，我们可以用numpy库的多项式函数来代表多项式，它提供了一系列的方法来进行多项式运算。下面是一个简单的例子，展示如何创建一个多项式、计算其导数和积分。
import numpy as np
p = np.poly1d([1, 2, 3]) # 创建一个三次多项式 p(x) = x^3 + 2x^2 + 3x
print(p) # 输出： 3 2
# 1 2
# x + 2 x + 3
dp = p.deriv() # 求导数
print(dp) # 输出： 2
# 3 x + 2
ip = p.integ() # 求积分
print(ip) # 输出： 4 3 2
# 0.25 x + 0.5 x + 1 x
注意，多项式表示的系数是按升序排列的，并且多项式的操作相当于对系数进行运算。在自然排序下，多项式的系数对应x的幂次，例如上面例子中的p(x) = x^3 + 2x^2 + 3x，系数数组[1, 2, 3]对应x^3、x^2和x的系数。
Chebyshev多项式的表示
在Python中，Chebyshev多项式可以用numpy.polynomial.chebyshev子模块来表示。该子模块提供了Chebyshev多项式的实现和运算。
注意到Chebyshev多项式有两种常用的表达方式：第一种是在[-1,1]区间上的多项式，第二种是在[0,pi]区间上的多项式。我们在下面的代码示例中将使用第一种表达方式。
我们下面举例说明如何使用numpy.polynomial.chebyshev来表示和计算Chebyshev多项式：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.polynomial import chebyshev as cheb
# 定义第一个和第二个Chebyshev多项式
T0 = cheb.Chebyshev([1])
T1 = cheb.Chebyshev([0, 1])
print(T0) # 输出：1.0
print(T1) # 输出：poly([0. 1.])
# 计算T2
T2 = cheb.chebmul(T1, [2, 0]) - T0
print(T2) # 输出：poly([-1. 0. 2.])
# 计算T3到T5
T3 = cheb.chebmul(cheb.Chebyshev([0, 2]), T2) - T1
T4 = cheb.chebmul(cheb.Chebyshev([0, 2]), T3) - T2
T5 = cheb.chebmul(cheb.Chebyshev([0, 2]), T4) - T3
print(T3.coef) # 输出：[ 0. -3. 0. 4.]
print(T4.coef) # 输出：[-1.11022302e-16 0.00000000e+00 -5.00000000e+00 0.00000000e+00 8.00000000e+00]
print(T5.coef) # 输出：[-1.55431223e-15 0.00000000e+00 7.50000000e+00 0.00000000e+00 -3.75000000e+01 0.00000000e+00 5.31250000e+01]
# 绘制前6个Chebyshev多项式的图像
x = np.linspace(-1, 1, 100)
plt.plot(x, cheb.chebval(x, T0), label='T0')
plt.plot(x, cheb.chebval(x, T1), label='T1')
plt.plot(x, cheb.chebval(x, T2), label='T2')
plt.plot(x, cheb.chebval(x, T3), label='T3')
plt.plot(x, cheb.chebval(x, T4), label='T4')
plt.plot(x, cheb.chebval(x, T5), label='T5')
plt.legend()
plt.show()
运行上述代码可以得到下图，展示了前6个Chebyshev多项式的图像。
Chebyshev级数转换为多项式
考虑将Chebyshev级数转换为多项式表示。我们需要将Chebyshev系数a_i乘以对应的Chebyshev多项式T_i(x)，并将结果相加，得到多项式P(x)：
P(x) = \sum\limits_{i=0}^{N}{a_i T_i(x)}
现在上述公式中，系数a_i可以通过任意方法获得，例如Chebyshev级数表示、离散傅里叶变换等。注意到在Chebyshev级数表示中，系数a_i的范围通常比较大，需要进行数值调整以避免数值误差。我们下面将给出一个实际的例子，演示如何将Chebyshev级数转换为多项式表示。
我们考虑将函数f(x) = \cos(x)在区间[-1, 1]上用Chebyshev级数进行表示，其中级数项数为N=100。我们首先需要计算Chebyshev系数a_i，这可通过Chebyshev级数表示的公式得到：
a_i = \frac{2}{\pi}\int_{-1}^{1}\frac{f(x)T_i(x)}{\sqrt{1 – x^2}}dx
注意到在计算Chebyshev系数时，我们需要对函数f(x)进行采样。下面的代码定义了函数g(x) = 1/(1+25x^2)，在[-1, 1]区间上对其进行100个采样，得到样本点x_i和函数值y_i=g(x_i)。这些点将被用于计算Chebyshev系数。
import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from numpy.polynomial import chebyshev as cheb
def f(x):
return np.cos(x)
def g(x):
return 1 / (1 + 25 * x**2)
# 在[-1,1]区间上生成样本点
N = 100
x_sample = cheb.chebpts1(N)
y_sample = g(x_sample)
# 计算Chebyshev系数
a = np.zeros(N)
for i in range(N):
integrand = lambda x: g(x) * cheb.chebval(x, cheb.Chebyshev.basis(i)) / np.sqrt(1 - x**2)
a[i] = 2/np.pi * quad(integrand, -1, 1)[0]
为了将Chebyshev级数转换为多项式表示，我们需要首先计算每个系数与其对应的Chebyshev多项式，然后将这些多项式相加，得到多项式表示。这可通过numpy.polynomial.chebyshev.chebval函数实现，其参数第一个为样本点，第二个为Chebyshev系数数组。
下面的代码演示了如何将Chebyshev级数转换为多项式表示，同时绘制了f(x)和P(x)的图像。
import matplotlib.pyplot as plt
T = [cheb.Chebyshev.basis(i) for i in range(N)]
P = cheb.chebval(x_sample, a * T)
x = np.linspace(-1, 1, 1000)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, f(x), label='\\cos(x)')
ax.plot(x_sample, P, 'x', label='Chebyshev approx, N=%d' % N)
ax.legend()
plt.show()
运行上述代码可以得到下图，其中蓝色的曲线是f(x)，红色的点是将Chebyshev级数转换为多项式表示后得到的多项式在样本点处的取值。
结论
本文介绍了如何将Chebyshev级数转换为Python中的多项式。我们首先学习了Chebyshev多项式的定义和性质，然后讨论了如何使用numpy库和scipy库中的函数计算Chebyshev多项式和Chebyshev系数。最后，我们演示了如何通过生成采样点和计算系数，将Chebyshev级数转换为Python中的多项式表示，从而得到函数的多项式逼近。
Chebyshev多项式具有一系列优良的性质，例如有界性、正交性和最佳逼近性等。因此，在数值计算和科学工程中广泛应用。Chebyshev级数和多项式的转换是实现这些应用的重要步骤之一，我们在本文中介绍了如何使用Python进行实现。
需要注意的是，为了获得良好的近似效果，需要在选择采样点和级数项数时进行适当的调整。此外，在计算Chebyshev系数时可能存在数值上溢或下溢的问题，需要特别处理。