在Python中将一个Hermite级数乘以另一个

什么是Hermite级数

Hermite级数是一个数学级数，常用于物理和统计学中的量子力学问题。Hermite级数是由物理学家Charles Hermite提出的。

Hermite级数的一般形式可以表示为：

$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

其中， $n$ 为一个非负整数。

下面通过 Python 代码演示 Hermite 级数的计算过程。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def hermite(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2 * x
    else:
        return 2 * x * hermite(n - 1, x) - 2 * (n - 1) * hermite(n - 2, x)

n = 4  # Hermite级数的阶数
x = np.linspace(-3, 3, 500)  # 生成等间距的500个x值
Hn = np.zeros_like(x)
for i in range(n + 1):
    Hn += hermite(i, x) * hermite(n - i, x)

plt.plot(x, Hn, label=f'Hermite {n}')
plt.legend()
plt.show()

运行上述代码，我们可以得到如下的 Hermite 4 阶数学函数的图像：

如何将一个 Hermite 级数乘以另一个

在上面的示例中，我们已经使用 Python 的 numpy 库和 matplotlib 库画出了 Hermite 级数，现在我们考虑如何将一个 Hermite 级数乘以另一个。

假设我们有两个 Hermite 级数，分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，它们的系数分别为 $a_i$ 和 $b_i$ ，可以表示为：

$f(x) = \sum_{i=0}^n a_i H_i(x)$

$g(x) = \sum_{i=0}^n b_i H_i(x)$

如果我们想要将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相乘，并且将它们表示成 Hermite 级数的形式，应该怎么做？

根据 Hermite 级数的性质，我们知道 Hermite 级数之间的乘积可以表示为：

$H_n(x) H_m(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2}) \cdot (-1)^m e^{x^2} \frac{d^m}{dx^m}(e^{-x^2})$

$\ \ \ \ \ = (-1)^{n+m} e^{2x^2} \frac{d^n}{dx^n} \frac{d^m}{dx^m}(e^{-x^2})$

由此，我们可以得到 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的乘积为：

$f(x) g(x) = (\sum_{i=0}^n a_i H_i(x))(\sum_{j=0}^n b_j H_j(x))$

$\ \ \ \ \ = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n a_i b_j H_i(x) H_j(x)$

将 $H_i(x) H_j(x)$ 展开，就可以将 $f(x) g(x)$ 表示为 Hermite 级数的形式：

$f(x) g(x) = \sum_{i=0}^{2n} c_i H_i(x)$

其中，

$c_k = \sum_{i=0}^n a_i b_{k-i} (-1)^{k-i} e^{2x^2} \frac{d^i}{dx^i} \frac{d^{k-i}}{dx^{k-i}}(e^{-x^2})$

通过 Python 代码来实现将一个 Hermite 级数乘以另一个的过程：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def hermite(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2 * x
    else:
        return 2 * x * hermite(n - 1, x) - 2 * (n - 1) * hermite(n - 2, x)

def hermite_product(n, a, b, x):
    c = np.zeros(2 * n + 1)
    for i in range(n + 1):
        for j in range(n + 1):
            k = i + j
            c[k] += a[i] * b[j] * (-1) ** (k - i) * np.exp(2 * x ** 2) * \
                np.polyval(np.polyder(np.poly1d([1, 0, -1])), x) ** i * \
                np.polyval(np.polyder(np.poly1d([1, 0, -1])), x) ** (k - i - j)
    return c

n = 4  # Hermite级数的阶数
a = np.array([1, 2, 0, 3, 1])  # f(x)的系数
b = np.array([0, 2, 1, 1, 2])  # g(x)的系数

x = np.linspace(-3, 3, 500)  # 生成等间距的500个x值
Hf = np.zeros_like(x)
Hg = np.zeros_like(x)
Hfg = np.zeros_like(x)

for i in range(n + 1):
    Hf += a[i] * hermite(i, x)
    Hg += b[i] * hermite(i, x)

c = hermite_product(n, a, b, x)
for i in range(2 * n + 1):
    Hfg += c[i] * hermite(i, x)

plt.plot(x, Hf, label='f(x)')
plt.plot(x, Hg, label='g(x)')
plt.plot(x, Hfg, label='f(x)g(x)')
plt.legend()
plt.show()

从图中可以看出，将 f(x) 和 g(x) 的 Hermite 级数相乘后得到的 Hermite 级数，其形状复杂，且振幅较小。这是由于 Hermite 级数乘积中的高阶项对总和的贡献很小，因此需要更多的项来足够精确地表示结果。