在Python中整合勒让德级数并设置积分下限

勒让德级数是一种重要的数学级数，可以拓展为函数。在Python中可以通过SciPy库来进行勒让德级数的计算。

我们先来了解一下勒让德多项式，它是一类正交多项式，用于解决函数的线性逼近和数值积分等问题。勒让德多项式与其他正交多项式如切比雪夫多项式、拉盖尔多项式等都有不同的性质，因此在不同的应用场景下会有不同的选择。

勒让德多项式

勒让德多项式是满足以下递推式的一组多项式：

$\begin{aligned} P_0(x)&=1\\P_1(x)&=x\\(n+1)P_{n+1}(x)&=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x) \end{aligned}$

其中 $n\geq1$ ， $P_n(x)$ 是 $n$ 阶勒让德多项式，也可以表示为 $P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$ 。

在Python中可以通过SciPy中的special子库中的legendre函数来计算勒让德多项式。示例代码如下：

import numpy as np
from scipy.special import legendre

x = np.linspace(-1, 1, 100)
P0 = legendre(0)(x)
P1 = legendre(1)(x)
P2 = legendre(2)(x)

勒让德级数

由于勒让德多项式的正交性，我们可以用勒让德多项式来表示任意函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的展开式：

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n P_n(x)$

其中

$c_n=\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1}f(x)P_n(x)dx$

这就是勒让德级数，展开系数 $c_n$ 可以通过计算函数 $f(x)$ 与勒让德多项式 $P_n(x)$ 的内积来求得。

在Python中可以使用SciPy中的quad函数来计算积分。如果需要设定积分下限，则可以通过生成新的函数来实现。示例代码如下：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import legendre

def f(x):
    return np.exp(x)

def g(x, n):
    return f(x)*legendre(n)(x)

c0 = quad(g, -1, 1, args=(0))[0]
c1 = quad(g, -1, 1, args=(1))[0]
c2 = quad(g, -1, 1, args=(2))[0]

设定积分下限

在上面的代码中我们演示了使用SciPy中的quad函数来计算勒让德级数展开系数。如果需要设定积分下限，则可以通过生成新的函数来实现。

比如如果需要计算下面的积分：

$c_n=\frac{2n+1}{2}\int_{a}^{1}f(x)P_n(x)dx$

则可以利用定积分的性质，将积分转化为区间 $[-1,1]$ 上的积分，再用新的函数来计算。示例代码如下：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import legendre

def f(x):
    return np.exp(x)

def g(x, n, a):
    return f((b-a)/2*x+(a+b)/2)*legendre(n)(x)

a, b = 0.5, 1
c0 = quad(g, -1, 1, args=(0, a))[0]
c1 = quad(g, -1, 1, args=(1, a))[0]
c2 = quad(g, -1, 1, args=(2, a))[0]

这里我们将积分区间 $[a,1]$ 映射到了 $[-1,1]$ 上，这可以通过线性变换来实现。特别地，当 $a=-1$ 时，这个新的函数就退化为原来的函数，即不设定下限的情况。