极客笔记在 Python 中沿着轴 0 归一化拉盖尔级数
在数学和物理学中，拉盖尔多项式是一类特殊的函数，它由归一化的勒让德多项式推导而来。在科学和工程领域中，拉盖尔级数有着广泛的应用，比如表示原子核中的粒子运动、天体物理学中的天体运动等等。本文将介绍 Python 中如何对拉盖尔级数进行归一化，以轴 0 为例，方便连接多个数据集进行处理。
拉盖尔多项式简介
拉盖尔多项式一般表示为 L_n^m(x)，其中 n 和 m 为非负整数，x 为实数。拉盖尔多项式是勒让德多项式的推广形式，它通过勒让德方程的求解得到。拉盖尔多项式的计算方式是通过递推公式 L_n^{m+1}(x) = (x-m)L_n^m(x) – (n+m)L_{n-1}^m(x) 来实现的。在 Python 中可以使用 SciPy 库的 special 模块进行计算。
示例代码如下所示：
import numpy as np
from scipy.special import lpmn, lpmv
# 计算勒让德函数的值和导数的值
x = np.linspace(0, 1, 101)
nmax = 3
lpmn_matrix = np.empty((nmax + 1, nmax + 1) + x.shape)
lpmn(nmax, nmax, x, out=lpmn_matrix)
p, pd = (lpmn_matrix[nmax, nmax], lpmn_matrix[nmax + 1, nmax])
# 计算拉盖尔多项式的值和导数的值
mmax = 2
lpmv_matrix = np.empty((mmax + 1, nmax + 1) + x.shape)
lpmv(mmax, nmax, x, out=lpmv_matrix)
lm, lmd = (lpmv_matrix[mmax], lpmv_matrix[mmax + 1])
归一化简介
在实际应用中，我们需要对拉盖尔多项式进行归一化。即对原来的函数进行一个伸缩变换，保证这个函数在定义域上积分等于 1。拉盖尔多项式的归一化公式如下所示：
N_{n,m} = \sqrt{\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}
归一化后的拉盖尔多项式记作 P_{n,m}(x)，它的计算方式是 P_{n,m}(x) = N_{n,m}L_n^m(x)。
示例代码如下所示：
# 计算归一化常量
norm = 1 / np.sqrt(np.arange(2, 2 * nmax + 2, 2))
# 计算归一化的拉盖尔多项式的值和导数的值
p_norm = norm[nmax - 1] * p
pd_norm = norm[nmax] * pd
lm_norm = np.outer(norm, lm)[:, mmax]
lmd_norm = np.outer(norm, lmd)[:, mmax]
归一化拉盖尔级数
归一化拉盖尔级数是对多个归一化的拉盖尔多项式进行加权和，它的计算方式如下所示：
L_m(x) = \sum_{n=m}^{\infty}{\alpha_{n,m}P_{n,m}(x)}
其中 \alpha_{n,m} 是权重系数，m 表示级数的阶数，n 表示拉盖尔多项式的阶数。在 Python 中，我们可以使用 NumPy 库的 tensordot 函数来计算加权和。
示例代码如下所示：
# 定义权重系数
alpha = np.arange(1, nmax + 1)[None] ** 2 / np.arange(1, nmax + 1)[:, None] ** 3
# 计算归一化拉盖尔级数的值和导数的值
lm_series = np.tensordot(alpha * lm_norm, x ** np.arange(mmax + 1), axes=(1, 0))
lmd_series = np.tensordot(alpha * lmd_norm, x ** np.arange(mmax + 1), axes=(1, 0))
p_series = np.tensordot(alpha * p_norm, x ** np.arange(mmax + 1), axes=(1, 0))
pd_series = np.tensordot(alpha * pd_norm, x ** np.arange(mmax + 1), axes=(1, 0))
可视化结果
最后，我们可以使用 Matplotlib 库将归一化的拉盖尔级数进行可视化。下面是针对线性的 mmax = 1 和非线性的 mmax = 2 两个级数的可视化结果。
import matplotlib.pyplot as plt
# 可视化线性拉盖尔级数
plt.plot(x, lm_series[0], label='m = 0')
plt.plot(x, lm_series[1], label='m = 1')
plt.title('Normalized Laguerre Series with Linear m')
plt.legend()
plt.show()
# 可视化非线性拉盖尔级数
plt.plot(x, p_series[0], label='m = 0')
plt.plot(x, p_series[1], label='m = 1')
plt.plot(x, p_series[2], label='m = 2')
plt.title('Normalized Laguerre Series with Nonlinear m')
plt.legend()
plt.show()
结论
本文中，我们介绍了如何使用 Python 对拉盖尔级数进行归一化处理。我们使用了 SciPy 库的 special 模块和 NumPy 库的 tensordot 函数来实现拉盖尔多项式的计算和归一化级数的加权和。最后，通过 Matplotlib 库实现了可视化结果，使我们可以更好地理解归一化拉盖尔级数的特征和应用。