在Python中将一个Hermite_e系列乘以另一个

在数学中，Hermite函数是指由法国数学家Charles Hermite所定义的一系列多项式函数。Hermite函数在概率论、量子力学等学科中应用非常广泛。在Python中，我们可以通过SciPy库来实现Hermite函数的计算。

Hermite函数的定义

首先，我们需要了解Hermite函数的定义。Hermite函数是指满足如下定义的一系列多项式函数：

$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

其中， $n$ 为非负整数， $x$ 为实数， $\frac{d^n}{dx^n}$ 表示对 $x$ 求 $n$ 阶导数。这个定义可能有些抽象，我们通过Python代码来理解。

使用Python计算Hermite函数

我们可以利用SciPy库中的特殊函数hermitenorm来实现Hermite函数的计算。hermitenorm函数的定义如下：

scipy.special.hermitenorm(n, monic=True)

其中，n表示要计算的Hermite函数的阶数，monic=True表示返回的多项式系数是否为首项系数为1的单项式。例如，计算Hermite函数 $H_3(x)$ ，可以按照如下代码实现：

import numpy as np
from scipy.special import hermitenorm

x = np.linspace(-5, 5, 1000)
H_3 = hermitenorm(3)(x)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, H_3)
plt.title("Hermite function H_3(x)")
plt.show()

上述代码中，我们首先使用numpy库生成 $x$ 的一组取值，然后使用hermitenorm(3)计算 $H_3(x)$ 的值。最后，使用matplotlib库绘制图像，得到了Hermite函数 $H_3(x)$ 在 $[-5, 5]$ 区间的图像。

我们可以看到， $H_3(x)$ 函数在 $x=0$ 处取得最大值，随着 $x$ 的增大，函数值不断减小。

Hermite_e系列的定义

知道了Hermite函数的定义，我们接下来要了解Hermite_e系列的定义。Hermite_e系列是指由如下公式定义的一组多项式函数：

$H_{n, e}(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} H_n(x)$

其中， $H_n(x)$ 表示Hermite函数的第 $n$ 阶， $x$ 为实数。Hermite_e系列的定义看起来比较复杂，但其实也很容易理解。Hermite_e系列实际上是Hermite函数在指数函数 $e^{-\frac{x^2}{2}}$ 的作用下的变换。

我们同样可以使用Python代码来实现Hermite_e系列的计算。与计算Hermite函数类似，我们依然可以利用SciPy库中的hermitenorm函数实现。

def Hermite_e(n):
    H_n = hermitenorm(n)
    return lambda x: np.exp(-0.5 * x**2) * H_n(x)

x = np.linspace(-5, 5, 1000)
H_3e = Hermite_e(3)(x)

plt.plot(x, H_3e)
plt.title("Hermite_e function H_3e(x)")
plt.show()

上述代码中，我们首先定义了一个Hermite_e函数，该函数接受一个整数参数 $n$ ，返回计算Hermite_e函数 $H_{n,e}(x)$ 的lambda函数。然后，我们使用该函数计算 $H_{3,e}(x)$ 的值，并使用matplotlib库绘制图像。得到的Hermite_e函数 $H_{3,e}(x)$ 在 $[-5,5]$ 区间的图像如下：

我们可以看到，Hermite_e函数 $H_{3,e}(x)$ 与Hermite函数 $H_3(x)$ 的形状非常相似，只是整体上进行了一个指数变换。

将一个Hermite_e系列乘以另一个

现在，我们已经了解了Hermite函数和Hermite_e系列的定义，可以开始考虑将一个Hermite_e系列乘以另一个。假设我们要计算的是 $H_{m,e}(x)H_{n,e}(x)$ 的结果，其中 $m,n$ 为非负整数。根据乘法的分配律，我们可以将该式子展开，得到：

$H_{m,e}(x)H_{n,e}(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}H_m(x)e^{-\frac{x^2}{2}}H_n(x)$

我们可以将上式左右两边同时乘以 $e^{\frac{x^2}{2}}$ ，得到：

$e^{\frac{x^2}{2}}H_{m,e}(x)H_{n,e}(x) = H_m(x)H_n(x)$

通过该等式，我们可以将一个Hermite_e系列乘以另一个转化成Hermite函数的乘积。因此，我们现在所要做的就是计算出Hermite函数 $H_m(x)$ 和 $H_n(x)$ ，然后做乘积运算即可。

下面的Python代码使用了上述思路，实现了将一个Hermite_e系列乘以另一个的功能。

import numpy as np
from scipy.special import hermitenorm

def Hermite_e_to_Hermite(m, n, x):
    H_m = hermitenorm(m)
    H_n = hermitenorm(n)
    return H_m(x) * H_n(x)

m = 3
n = 4
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
H_mn = np.exp(x**2 / 2) * Hermite_e_to_Hermite(m, n, x)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, H_mn)
plt.title(f"H_{m,e}(x)H_{n,e}(x) = H_{m}(x)H_{n}(x)")
plt.show()

上述代码中，我们定义了一个Hermite_e_to_Hermite函数，该函数接受两个整数参数 $m$ 和 $n$ ，以及一个代表 $x$ 取值范围的numpy数组$x。该函数返回 $H_m(x)H_n(x)$ 的值。然后，我们使用该函数计算出 $H_{3,e}(x)H_{4,e}(x)$ 的值，并绘制图像。具体来讲，我们选择 $m=3$ 和 $n=4$ ，使用np.linspace`函数生成 $x$ 在 $[-5, 5]$ 区间的1000个均匀分布的取值点。最后，得到Hermite函数的乘积图像如下：