在Python中将Legendre级数提高到幂级数

在数学中，Legendre多项式是一种常见的正交多项式，以法国数学家Adrien-Marie Legendre的名字命名。在物理领域，它通常用于描述球形体问题中的角方程。

在Python中，我们可以使用sympy模块计算Legendre多项式：

from sympy import *
x = symbols('x')
n = 3
Legendre(n, x)
## Output: 5*x**3/2 - 3*x/2

这会输出 $n=3$ 的Legendre多项式。在数学中，Legendre多项式通常被表示为 $P_n(x)$ ，旨在用一组正交函数来表示 $n$ 次多项式。

我们可以在Python中调用sympy.utils.lambdify函数将sympy表达式转换为Python可识别的表达式：

n = 3
P = Legendre(n, x)
f = lambdify(x, P, 'numpy')
x_vals = linspace(-1, 1, 1000)
y_vals = f(x_vals)

这将在numpy中生成 $x$ 值，然后计算相应的y值。

然而，如果我们将Legendre级数从 $x$ 提高到幂级数，我们需要通过级数计算来实现。在Python中，我们可以实现以下代码来升级级数：

from sympy.functions import *
from sympy import *
x = symbols('x')
n = 5
# 利用sympy生成Legendre并翻译成python函数
Pn = lambdify(x, legendre_poly(n, x), 'numpy')
# 要被拟合的函数是 sin(x)
f = np.sin

# 这是方便定义的转变变量
q = []
for i in range(1, n+1):
    q.append(lambda x, i=i: Pn(x) * f(x) * x**i / sqrt((2*i+1)))

F = lambdify(x, sum(q), 'numpy')

这将计算从级数中提升的多项式。接下来，我们可以使用matplotlib库在图形上可视化我们的结果，以帮助我们更好地理解多项式的使用情况：

import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

x_vals = np.linspace(-1, 1, 300)
y_vals = F(x_vals)
y_true = f(x_vals)

ax.plot(x_vals, y_vals, label="Legendre拟合结果")
ax.plot(x_vals, y_true, label="原始函数结果")
ax.set_xlim(-1, 1)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("f(x)")
ax.legend()

这将生成两条曲线。第一条曲线是由Legendre级数拟合的结果，第二条曲线是我们要拟合的原始函数。