在Python中整合拉盖尔级数并设置积分顺序

前言

拉盖尔级数是一种常见的级数，它是由19世纪法国数学家拉盖尔发明的。他使用级数解决了许多技术问题和物理问题。现在，拉盖尔级数已经应用于许多领域，包括工程、物理和数学等领域。在这篇文章中，我们将了解如何在Python中整合拉盖尔级数，并设置积分的顺序。

拉盖尔级数

拉盖尔级数是一种函数级数，它表示为以下形式：

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+\alpha)!}{n!\Gamma(n+\alpha+1)}\left(\frac{-x}{a}\right)^n$

这里， $\Gamma$ 表示伽玛函数， $a$ 是常数， $\alpha > -1$ 。

在Python中，我们可以使用SymPy模块来计算拉盖尔级数。首先，需要导入SymPy模块，然后定义变量和参数：

import sympy as sp
x,a,alpha = sp.symbols('x a alpha')

接下来，使用sympy.functions.special.gamma.gamma函数来计算伽玛函数，并使用sympy.series(series_expr, var, x0, n)函数来计算拉盖尔级数：

f = sp.series((x**alpha)*sp.exp(-x/a),x,0,n=None).removeO()
g = sp.gamma(n+alpha+1)/(n*sp.factorial(n+alpha))
L = sp.summation(g*f.subs({alpha:float(alpha),a:float(a)}),(n,0,sp.oo))

这里，我们使用removeO()函数来删除无穷小项，并使用float()函数来将sympy Float对象转换为普通的Python浮点数。

积分顺序

对于双积分，积分顺序是一个重要的问题。在本节中，我们将讨论如何在Python中设置积分的顺序。

我们考虑以下双积分：

$I = \int_0^1 \int_0^{1-x} \frac{x^3y^2}{(1-xy)^3}dydx$

如果我们直接对其进行积分，会发现非常困难。但是，如果我们改变积分顺序，就可以使问题变得更加简单。

首先，我们将 $y$ 的积分放在最内层：

$I = \int_0^1 \left(\int_0^{1-x} \frac{x^3y^2}{(1-xy)^3}dy\right)dx$

然后，我们要用到变量代换法。令 $u=1-xy$ ，则有 $x=\frac{1-u}{y}$ ，并且 $du=-ydx$ ，则原积分变为：

$I = \int_0^1\left(\int_0^1 \frac{(1-u)^3u^2}{u^3}\frac{-1}{y}du \right)dx = \int_0^1\left(\int_0^1 (1-u)^3u^2du\right)\left(\int_0^{1-u}\frac{1}{y}dy\right)dx$

现在，我们可以更容易地计算出积分：

from scipy.integrate import dblquad
import numpy as np

def integrand(u,x):
    return (1-u)**3 * u**2

def inner_integrand(u):
    return 1/(1-u)

f = lambda x: dblquad(integrand, 0, 1-x, inner_integrand, np.inf)[0]

print(f(1))

这里，我们使用scipy.integrate.dblquad函数来计算双积分，其中第二个和第三个参数分别表示 $y$ 和 $x$ 的积分上下限，第四个参数是内部积分函数的上限。最后，我们打印出积分值。