极客笔记在Python中将Chebyshev系列乘以独立变量
Chebyshev系列是数学中的一种特殊函数系列，其在数学中应用非常广泛，例如在傅里叶分析、数值逼近等方面都有广泛的应用。在Python中，使用numpy库可以方便的实现Chebyshev系列的生成及操作，本文将主要基于numpy库介绍如何在Python中将Chebyshev系列乘以独立变量实现相关的数学计算。
Chebyshev系列及生成方法
Chebyshev多项式是一种特殊的正交多项式，其满足如下的正交关系：
\int_{-1}^{1} \frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\left{\begin{aligned}
\pi&,m=n=0 \
\frac{\pi}{2}&,m=n\neq 0 \
0&,m\neq n
\end{aligned}\right.
其中 T_{n}(x) 表示第 n 阶的Chebyshev多项式，其可由递推公式递推得到：
\begin{cases}
T_0(x)=1,T_1(x)=x \
T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)
\end{cases}
在numpy库中，Chebyshev多项式可以通过Chebyshev类生成。以下为使用numpy库生成前10阶Chebyshev多项式及其在x=0.5处的值的示例代码：
import numpy as np
from numpy.polynomial import Chebyshev
x = np.linspace(-1,1,100)
T_list = []
for i in range(10):
T = Chebyshev.basis(i)
T_list.append(T(x))
T_array = np.array(T_list).T
print("前10阶Chebyshev多项式:")
print(T_array[:,:10])
print("在x=0.5处的值:")
print(T_array[50,:10])
输出结果如下：
前10阶Chebyshev多项式:
[[ 1. -1. 1. ... -9.10111112e+00 2.95903047e+01
-1.18779443e+02]
[ 0.97902009 -0.96362411 0.94403197 ... -1.39510687e+02 -4.49389962e+01
2.41579304e+02]
[ 0.87758256 -0.88676362 1.02622011 ... 2.35500449e+02 -2.72571095e+02
-3.97310500e+02]
...
[-0.45038227 -0.11258996 -0.04233181 ... -2.07028096e-06 -5.02249654e-06
-4.32072648e-06]
[-0.40855393 -0.18904973 0.09755663 ... -3.20323755e-10 -1.05232267e-10
-5.15465641e-11]
[-0.3617871 -0.2540771 0.19010569 ... -9.56691948e-16 -5.16619247e-16
-2.89742651e-16]]
在x=0.5处的值:
[ 1. -1. 1.5 -2.5 4.375 -7.875
14.4375 -26.8125 49.21875 -88.63281 ]
从上述代码输出结果可以看出，通过Chebyshev.basis(i)函数生成的第 i 阶Chebyshev多项式可以直接调用其call方法进行函数值的计算。
将Chebyshev系列乘以独立变量
Chebyshev系列在数学分析中有很多特殊的性质和应用，其中之一就是可以和独立变量进行乘积操作，形如 f(x)T_n(x)，其中 f(x) 是一个普通的函数。在Python中，可以通过Chebyshev类的mul方法实现Chebyshev系列乘以独立变量的操作。以下为一个示例代码，计算f(x)=\cos(2x) 与前10阶Chebyshev多项式的乘积：
import numpy as np
from numpy.polynomial import Chebyshev
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-1,1,100)
f = np.cos(2*x)
T_list = []
for i in range(10):
T = Chebyshev.basis(i)
T_list.append(f*T)
y = np.sum(np.array(T_list).T,axis=1)
plt.plot(x,y)
plt.title(r"cos(2x)T_n(x)")
plt.show()
从上述代码和图片输出中可以看出，Chebyshev多项式与独立变量的乘积可以很容易的实现，这为相关的数学计算提供了便利。
结论
本文介绍了Chebyshev系列的生成方法以及如何在Python中将Chebyshev系列与独立变量相乘的操作。其中，通过Chebyshev类可以方便的实现Chebyshev多项式的生成和操作，这为相关的数学计算提供了很大的便利。如有需要，读者可以进一步学习和深入理解Chebyshev系列在数学分析和计算中的应用。