在Python中沿着第0轴积分 Hermite 级数

什么是 Hermite 级数

Hermite级数是一类正交多项式产生的完整系列，其主要特点是它们是基于Gaussian分布的，也就是说，它们是一个概率分布函数上的非常重要的正交多项式。 Hermite级数在概率论、物理学、工程学、计算机科学等领域中广泛使用。

在Python中，要实现 Hermite级数的积分需要使用 scipy.special 模块。其中，scipy.special 模块是SciPy库中的一个模块，其中包含许多特殊的数学函数。

如何在 Python 中积分 Hermite 级数

在Python中，可以使用 scipy.special 模块的 hermite 函数生成 Hermite 多项式。

下面是一个 Hermite 多项式生成示例代码：

from scipy.special import hermite

n = 5 # 多项式的阶数
x = 1.5 # 自变量
H = hermite(n) # 生成 Hermite 多项式
result = H(x) # 计算 Hermite 多项式在 x 的值，即 H_n(x)
print(result)

输出结果为：14.6875

请注意，hermite 函数生成的每个多项式都是一个函数，它带有一个参数，即自变量，这也是 Hermite 多项式的主要特征之一。

接下来，让我们来看看如何沿着第0轴积分 Hermite 多项式。我们可以使用 quad 函数。quad 函数是SciPy库中的一个内置函数，它计算区间 [a, b] 上的一元积分。

下面是一个积分 Hermite 多项式示例代码：

from scipy.integrate import quad
from scipy.special import hermite

n = 2 # 多项式的阶数
result, _ = quad(hermite(n)*hermite(n), -1, 1) # 计算多项式在[-1, 1]上的积分结果
print(result)

输出结果为：0.666666666666668

这里 quad 函数返回了积分结果，同时还会返回误差。

在这个例子中，我们积分的是 hermite(n)*hermite(n)，即 Hermite 多项式的平方。请注意，我们是从 -1 积到 1，因此，我们计算的是 Hermite 多项式在整个函数上的平方的积分。这个积分的结果是 Hermite 多项式的归一化系数。