在Python中集成Laguerre级数并在加入积分常量之前乘以一个标量

Laguerre级数是一个实数函数 $f(x)$ 的一种展开形式。其在无穷远处衰减，已知一个标量 $a$ ，则Laguerre级数在加入积分常量之前乘以标量 $a$ ，记为：

$g(x) = a\int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x}x^{\alpha}L_n^{k}(x) dx$

其中， $L_n^{k}(x)$ 为Laguerre多项式， $\alpha,k$ 为实数（其中 $k$ 为非负整数）， $e$ 为自然对数的底数。

在Python中，计算Laguerre级数并乘上标量 $a$ 可以使用SciPy库中的特殊函数scipy.special.genlaguerre。

示例代码如下所示，其中我们取 $\alpha=1$ ， $k=1$ ， $a=2$ ：

import numpy as np
import scipy.special

def f(x):
    return np.exp(-x)

a = 2
alpha = 1
k = 1

def g(x):
    return a * scipy.special.genlaguerre(k, alpha)(x) * f(x)

以上代码定义了函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 。其中 $f(x)$ 为一个指数函数， $a$ 、 $\alpha$ 和 $k$ 分别取 $2$ 、 $1$ 和 $1$ 。函数scipy.special.genlaguerre可以用来计算Laguerre多项式。

接下来，我们可以使用Matplotlib库来显示函数 $g(x)$ 的图像：

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 10, 200)
y = g(x)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y)
ax.set_xlim(0, 10)
ax.set_ylim(0, 6)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("g(x)")
plt.show()

运行以上代码，我们可以得到函数 $g(x)$ 的图像：