将 Hermite 级数积分并在 Python 中设置积分常数

Hermite 级数

在数学中，Hermite 级数是以法国数学家 Charles Hermite 的名字命名的一个级数，它是以 Hermit 多项式为基础的无穷级数。Hermite 级数的一般形式如下：

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

其中 $H_n(x)$ 是 Hermite 多项式，在量子力学、统计力学等领域有广泛的应用。

Hermite 级数积分

将 Hermite 级数积分表示为：

$\int_{-\infty}^{\infty} H_m(x)H_n(x)w(x)dx=n!\sqrt{\pi}2^m\delta_{mn}$

其中 $w(x)=e^{-x^2}$ 是定义在实数域上的权重系函数， $\delta_{mn}$ 是 Kronecker delta 函数。

Python 实现

在 Python 中实现 Hermite 级数积分，我们需要使用 Scipy 库的 quad 模块。quad 函数可以计算积分，并返回积分的结果和误差。

首先，我们需要安装 Scipy 库：

!pip install scipy

接下来，我们定义 Hermite 多项式和权重系函数：

import numpy as np
from scipy.special import hermite
def f(x, n):
    return hermite(n)(x) * np.exp(-x**2/2)

然后我们可以使用 quad 函数计算 Hermite 级数积分：

from scipy.integrate import quad
m = 3
n = 3
if m == n:
    result, _ = quad(lambda x: f(x, m)**2, -np.inf, np.inf)
    result *= np.sqrt(np.pi) * 2**m * np.math.factorial(m)
else:
    result = 0.0

其中的 if 语句是用于判断 $m$ 和 $n$ 是否相同，如果相同再去计算积分值。

设置积分常数

对于 Hermite 级数积分中的积分常数，我们可以使用 sympy 库进行计算。

首先，我们需要安装 sympy 库：

!pip install sympy

然后，我们定义 Hermite 多项式和权重系函数：

from sympy import *
init_printing()

x = Symbol('x')
n = Symbol('n')

f = hermite(n, x)*exp(-x**2/2)

接下来，使用以下代码查找积分常数：

I = integrate(exp(-x**2), (x, -oo, oo))
I

我们可以得到积分常数的值 $\sqrt{\pi}$ 。

最终，我们可以将积分常数应用到 Hermite 级数积分中：

m = 3
n = 3
if m == n:
    result, _ = quad(lambda x: f(x, m)*f(x, n), -np.inf, np.inf)
    result *= sqrt(pi) * 2**m * factorial(m)
else:
    result = 0.0