在MATLAB中的微分或导数

在数学中，微分或者导数是一种用于确定函数变化率的基本操作之一。因此，导数对于分析各种科学和工程过程或函数至关重要。我们可以使用MATLAB等各种数学工具进行导数运算。

在本教程中，我们将探讨如何使用MATLAB计算给定数学函数的导数。但是在此之前，让我们先了解导数的概述。

什么是导数

导数是一种数学运算，用于计算函数或过程中发生的变化率。从几何学角度来看，导数被定义为给定数学函数曲线上某一点处切线的斜率。

在数学上，如果f是x的函数，即f(x)，那么它的导数可以表示为f'(x)或df/dx。这里，f'(x)表示函数f(x)在每个x的值上的变化率。

在MATLAB中，可以使用内置函数’diff()’来计算给定数学函数的导数。

‘diff’函数可以计算给定数值数据或符号表达式的导数。根据不同的使用情况，’diff’函数可以采取以下不同的语法形式−

f’= diff(f);
f’= diff(f, n);
f’= diff(f, n, dim);

现在，我们将使用示例程序来详细介绍’diff’函数的每个语法形式。

(1). 计算函数的一阶导数

语法

可以使用’diff’函数的以下语法形式计算函数的一阶导数−

f' = diff(f);

考虑以下MATLAB程序，以了解如何使用’diff’函数计算函数的一阶导数。

示例

% MATLAB program to calculate first derivative of a function
% Declare a symbolic variable
syms x;

% Define a function for variable x
f = x^2 + 5*x + 3;

% Calculate the derivative of the function f
dfdx = diff(f);

% Display the result
disp('Derivative of the function f is:');
disp(dfdx);

输出

Derivative of the function f is:
2*x + 5

解释

在这个MATLAB代码中，我们首先创建了一个符号变量’x’，然后在这个变量中定义一个函数’f’。接下来，我们使用函数’diff’计算函数’f’的导数，并将结果存储在变量’dfdx’中。最后，我们使用’disp’函数来显示结果。

(2). 计算函数相对于指定变量的导数

语法

以下语法用于计算函数相对于指定变量的导数的’diff’函数。

f' = diff(f, b);

这将计算函数’f’相对于变量’b’的导数。

我们现在来看一个在MATLAB中的示例程序，以理解该语法的实现。

示例

% MATLAB program to calculate derivative of function with respect to specified variable
% Declare symbolic variables
syms x y;

% Define a function for variable x and y
f = x^2 + 5*x*y + 3*y^2;

% Calculate the derivative of the function f with respect to y
dfdy = diff(f, y);

% Display the result
disp('Derivative of the function f with respect to y is:');
disp(dfdy);

输出

Derivative of the function f with respect to y is:
5*x + 6*y

解释

在这个MATLAB程序中，首先我们创建两个变量’x’和’y’。然后，我们为这两个变量定义一个函数，并将其存储在变量’f’中。之后，我们使用’diff’函数来计算函数’f’关于变量’y’的导数，并将结果存储在变量’dfdy’中。最后，我们使用’disp’函数显示结果。

(3). 计算函数的指定阶导数

语法

使用’diff’函数的以下语法来计算函数的指定阶导数 −

f' = diff(f, n);

在这里，’f’是函数，’n’是导数的阶数。

示例

考虑以下MATLAB程序，以了解如何使用这个函数。

% MATLAB program to calculate derivative of specified order of a function 
% Declare a symbolic variable
syms x;

% Define a function for variable x
f = x^3 + 5*x^2 + 3*x;

% Calculate first-order derivative of the function f (n = 1)
dfdx1 = diff(f, 1);

% Calculate second-order derivative of the function f (n = 2)
dfdx2 = diff(f, 2);

% Calculate third-order derivative of the function f (n = 3)
dfdx3 = diff(f, 3);

% Display the results
disp('First order derivative of the function f is:');
disp(dfdx1);
disp('Second order derivative of the function f is:');
disp(dfdx2);
disp('Third order derivative of the function f is:');
disp(dfdx3);

输出

First order derivative of the function f is:
3*x^2 + 10*x + 3

Second order derivative of the function f is:
6*x + 10

Third order derivative of the function f is:
6

解释

此代码的实现和执行与上述代码类似。

(4). 计算向量元素之间的差异

语法

我们可以使用’diff’函数的以下语法来计算向量元素之间的差异 –

D = diff(A);

在这里，A是输入向量。

示例

让我们通过一个例子来理解“diff”函数的语法。

% MATLAB program to calculate differences between vector elements
% Create a vector
A = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];

% Calculate the differences between elements of the vector
D = diff(A);

% Display the result
disp('Differences between elements of the vector A is:');
disp(D);

输出

Differences between elements of the vector A is:
     1     1     1     1     1     1     1     1     1

解释

该MATLAB代码计算从左边开始输入向量的连续两个元素的差异。

(5). 在指定维度上计算多维数组的导数

语法

使用’diff’函数的以下语法来计算多维数组沿指定维度的导数 −

D = diff(A, n, dim);

在这里，A是多维数组，n是导数的阶数，’dim’是指定的维度。

如果’dim = 1’，导数或差值将沿着数组的行进行计算。如果’dim = 2’，导数或差值将沿着数组的列进行计算。

示例

以下MATLAB程序演示了’diff’函数的此语法的实现。

% Create a multidimensional array
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];

% Calculate the differences along rows (dim = 1)
D_Row = diff(A, 1, 1);

% Calculate the differences along columns (dim = 2)
D_Column = diff(A, 1, 2);

% Display the original array and differences
disp('The original array A is:');
disp(A);
disp('Differences of A along rows is:');
disp(D_Row);
disp('Differences of A along columns is:');
disp(D_Column);

输出

The original array A is:
     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

Differences of A along rows is:
     3     3     3
     3     3     3

Differences of A along columns is:
     1     1
     1     1
     1     1