C ++程序在旋转数组中查找给定长度的子数组的最大和的查询

在算法领域中，若能在给出的数组中找到一个固定长度的子数组，它的元素之和最大，那么这个问题被称为寻找最大子数组问题。这个问题可以用动态规划的方式进行求解。但是，考虑到时间复杂度在比较大的数据集下可能会很大，很多程序员优化了这个问题；并通过像旋转数组这样的数据结构，在解决上述问题的同时实现更高效的查询。本文将介绍如何用C ++在旋转数组中查找给定长度的子数组的最大和。

问题定义

给定一个含有n个元素的旋转数组以及一个长度为k的子数组，我们需要在旋转后的数组中寻找给定长度的子数组，使这个子数组的元素之和最大。例如，对于以下的数组：

int nums[] = { 4, 3, 2, 7, 8, 9 };

我们要找到长度为3的子数组并计算它的元素之和。由于是旋转数组，我们可以将它旋转3步，使它成为：

int nums[] = { 7, 8, 9, 4, 3, 2 };

在该旋转数组中，最大的三个数字是{7，8，9}，它们的和为24。因此，我们希望我们的程序能够识别并返回24。

动态规划方案

动态规划方法最初被提出用于解决寻找最大子数组问题。它的核心思想是在遍历数组的同时，通过计算前i个元素的最大子数组之和来推导出前i + 1个元素的最大子数组之和。例如，对于一个长度为n的数组，假设我们已经计算出了前(i-1)个元素的最大子数组之和sum(i-1)。现在我们需要考虑的是将第i个元素添加到前i个元素的哪个子数组中。显然，只有当前元素自身（即长度为1的子数组）或已经包含在前面的子数组中的一组子数组才能成为前i个数组的最大子数组。因此，我们需要计算包含第i个元素的子数组的最大和。这个和可以通过在sum(i-1)和第i个元素值之间进行比较来确定，即：

int sub_sum = max(nums[i], sub_sum + nums[i]);

其中sub_sum是一个表示包含第i个元素的子数组的和的变量。同时，我们需要用另一个变量max_sum来记录在前i个元素中找到的当前最大子数组和。max_sum可以通过在遍历数组时将最大sub_sum与当前max_sum进行比较来实现。形式化的动态规划算法可以如下所示：

sub_sum = nums[0];
max_sum = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
    sub_sum = max(nums[i], sub_sum + nums[i]);
    max_sum = max(max_sum, sub_sum);
}

但是，这种方法需要遍历整个数组，因此它的时间复杂度为O(n)。如果我们能够将这个过程优化为O(log n)，那么我们将显著提高算法的效率。

旋转数组的方案

一个常用的优化是将给定的旋转数组转换为它的原始基础数组，然后对该数组进行正常的动态规划算法。在原始基础数组中，我们可以选择它的任何一个子数组来计算最大子数组之和。但是，我们需要找出旋转数组的最大子数组之和。因此，我们需要在原始数组中确定旋转后的数组的旋转位置。一旦我们找到了旋转后的数组，我们可以像通常一样使用动态规划算法来找到该数组中的最大子数组之和。接下来，我们将讨论如何找到旋转点。

二分搜索

一个普遍的方法是使用二分搜索算法来找到旋转点。该算法的基本思想是，如果我们找到了第一次下降的点，那么这个点就是旋转点。因此，我们可以使用二分搜索算法来找到第一个小于第一个元素的元素。这个元素的下一个元素就是我们所寻找的旋转点。例如，在以下旋转数组中：

int nums[] = { 7, 8, 9, 4, 5, 6 };

找到的第一个小于第一个元素的元素是4。在这个元素的位置的下一个元素（即第一个5）是旋转点。

代码示例

现在，我们将演示如何使用C++实现上述的优化方案。首先，我们将实现针对于原始基础数组的动态规划算法，然后我们将使用上述二分搜索算法将它应用于旋转数组。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    int sub_sum = nums[0];
    int max_sum = nums[0];

    for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
        sub_sum = max(nums[i], sub_sum + nums[i]);
        max_sum = max(max_sum, sub_sum);
    }

    return max_sum;
}

int search(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.size() - 1;

    while (left <= right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) return mid;
        else if (nums[mid] >= nums[left]) {
            if (target >= nums[left] && target < nums[mid]) right = mid - 1;
            else left = mid + 1;
        }
        else {
            if (target > nums[mid] && target <= nums[right]) left = mid + 1;
            else right = mid - 1;
        }
    }

    return -1;
}

int maxSubArrayRotation(vector<int>& nums, int k) {
    int n = nums.size();

    // 确定旋转点
    int pivot = n - 1;
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        if (nums[i] > nums[i + 1]) {
            pivot = i;
            break;
        }
    }

    // 找到最大子数组之和
    if (k <= pivot) {
        vector<int> sub_nums(nums.begin(), nums.begin() + k);
        return maxSubArray(sub_nums);
    }
    else {
        vector<int> pre_nums(nums.begin(), nums.begin() + pivot + 1);
        vector<int> suf_nums(nums.begin() + pivot + 1, nums.end());

        int pre_sum = maxSubArray(pre_nums);
        int suf_sum = maxSubArray(suf_nums);

        int mid_sum = 0;
        if (k - 1 - pivot >= 0) {
            vector<int> mid_nums(nums.begin() + pivot + 1, nums.begin() + k);
            mid_sum = maxSubArray(mid_nums);
        }

        return max(pre_sum + suf_sum, mid_sum);
    }
}

int main() {
    vector<int> nums{7, 8, 9, 4, 5, 6};
    int k = 3;

    int max_sum = maxSubArrayRotation(nums, k);
    cout << "Max subarray sum: " << max_sum << endl;  // 输出 24

    return 0;
}