C++程序计算最大总和的对数

在C++中，计算最大总和的对数是一项很常见的任务。例如，给定一个整数序列，找到所有可能的对数，使得这些数的总和最大。这个问题的一个解决办法是使用动态规划。

动态规划实现

在动态规划中，我们需要创建一个数组来存储计算过程中的结果。对于给定的序列，我们定义一个一维数组dp，其中dp[i]存储所有以第i个元素结尾的序列的最大总和。这样，对于每个i，我们可以通过以下公式计算dp[i]的值：

dp[i] = max(dp[j] + 1), 0 <= j < i and arr[j] < arr[i]

其中，arr是原始数组。我们首先将数组的所有元素初始化为1，然后按从小到大的顺序遍历数组，用每个元素更新dp数组的值。最终dp数组中的最大值即为序列的最大总和。

下面是C++代码示例：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 100;

int arr[MAXN];
int dp[MAXN];

int main() {
  int n;
  cin >> n;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    cin >> arr[i];
    dp[i] = 1;
  }

  for (int i = 1; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
      if (arr[j] < arr[i]) {
        dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
      }
    }
  }

  int ans = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    ans = max(ans, dp[i]);
  }
  cout << ans << endl;

  return 0;
}

时间复杂度分析

该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n是序列的长度。因为要遍历序列中的所有子序列，所以该算法非常消耗时间。如果序列特别长，该算法的效率就会非常低。

改进方案

为了提高算法效率，我们可以使用更快的算法来计算最大总和的对数。一种解决方案是使用优化的动态规划算法。我们可以使用一个单调递增序列来维护所有小于当前元素的序列，并使用二分查找算法来查找这个序列中最大的元素的索引。

下面是改进后的C++代码示例：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 100;

int arr[MAXN];
int dp[MAXN];
int len[MAXN];

int main() {
  int n;
  cin >> n;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    cin >> arr[i];
  }

  len[0] = 1;
  dp[0] = arr[0];

  int ans = 1;
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int idx = lower_bound(dp, dp + ans, arr[i]) - dp;
    if (idx == ans) {
      ans++;
    }
    len[idx] = i + 1;
    dp[idx] = arr[i];
  }

  cout << ans << endl;

  return 0;
}