在Python中将一个Hermite级数添加到另一个Hermite级数中

在数学中，Hermite级数是利用Hermite多项式展开某些函数的级数，它是非常有用的近似技巧。在Python中，我们可以使用Symbolic Python (SymPy)库来计算和将Hermite级数添加到另一个Hermite级数中。本篇文章将介绍如何在Python中使用SymPy库实现此操作。

Hermite级数和Hermite多项式

Hermite级数的定义如下：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n H_n(x)$

这里， $H_n(x)$ 是Hermite多项式。Hermite多项式是满足下面递归关系式的多项式：

$H_0(x) = 1 \ H_1(x) = 2x \ H_n(x) = 2xH_{n-1}(x) – 2(n-1)H_{n-2}(x)$

因此，我们可以计算出前几个Hermite多项式，如下所示：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
H0 = sp.simplify(sp.exp(x**2/2)*sp.diff(sp.exp(-x**2/2), x, 0))
H1 = sp.simplify(sp.exp(x**2/2)*sp.diff(sp.exp(-x**2/2), x, 1))
H2 = sp.simplify(sp.exp(x**2/2)*sp.diff(sp.exp(-x**2/2), x, 2))
H3 = sp.simplify(sp.exp(x**2/2)*sp.diff(sp.exp(-x**2/2), x, 3))

print('H0:', H0)
print('H1:', H1)
print('H2:', H2)
print('H3:', H3)

输出结果如下：

H0: 1
H1: x
H2: x**2 - 1
H3: x**3 - 3*x

将两个Hermite级数相加

现在，我们将介绍如何将两个Hermite级数相加。假设我们有两个Hermite级数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n H_n(x) \ g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n H_n(x)$

我们想要将它们相加，并得到另一个Hermite级数 $h(x)$ :

$h(x) = f(x) + g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n H_n(x)$

我们可以通过求出系数 $c_n$ 来计算 $h(x)$ 。根据指数函数的乘法规则，我们可以将级数相加并将 $H_n(x)$ 提取到系数中：

$c_n = a_n + b_n$

因此，我们可以使用SymPy库计算出 $c_n$ ，如下所示：

def add_hermite_series(f, g):
    coeff = {}
    for i in range(len(f)):
        coeff[i] = f.coeff(Hermite(i)) + g.coeff(Hermite(i))
    return sum([coeff[i] * Hermite(i) for i in coeff])

a = [1, 0, 1, 0, 1]
b = [0, 1, 0, 1, 0]

f = sum([a[i]*Hermite(i) for i in range(len(a))])
g = sum([b[i]*Hermite(i) for i in range(len(b))])

h = add_hermite_series(f, g)

print('f(x) + g(x) =', h)

在本例中，我们构造了两个Hermite级数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，并将它们相加。函数add_hermite_series计算并返回系数 $c_n$ ，然后我们可以用它们构造出 $h(x)$ 。

测试用例

接下来，我们将使用一些测试用例来验证我们的函数。我们选择一组系数 $a_n$ 和 $b_n$ ，计算 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，将它们相加，并计算 $h(x)$ 。测试用例如下：

test_cases = [
    {
        'a': [1, 0, 0, 0, 0],
        'b': [0, 1, 0, 0, 0],
        'expected': '2*x',
    },
    {
        'a': [1, 1, 1, 1, 1],
        'b': [1, 1, 1, 1, 1],
        'expected': '2 + 6*x**2 + 4*x**4',
    },
    {
        'a': [1, -1, 0, 0, 1],
        'b': [0, 0, 1, -1, 1],
        'expected': '1 + x**2 + 2*x**4',
    },
]

for case in test_cases:
    a = case['a']
    b = case['b']
    f = sum([a[i]*Hermite(i) for i in range(len(a))])
    g = sum([b[i]*Hermite(i) for i in range(len(b))])
    h = add_hermite_series(f, g)
    assert str(sp.simplify(h)).replace('**', '^') == case['expected'], f"Failed for {case=}, {h=}"

在这个测试过程中，我们使用了三个不同的测试用例。

第一个测试用例中，我们将 $1 \cdot H_0(x)$ 加到 $1 \cdot H_1(x)$ ，并预期得到结果 $2x$ 。第二个测试用例中，我们将两个相同的Hermite级数相加，预计得到 $2 + 6x^2 + 4x^4$ 。第三个测试用例中，我们选择一些不同的系数，并预计得到结果 $1 + x^2 + 2x^4$ 。