C++程序计算生成排序数组所需旋转的次数

前言

很多算法问题都需要对数据进行排序操作，而对于已排好序的数据无需进行排序，因此需要对数据进行判断是否已经排好序的操作。如果没有排好序，还需要进行排序。而对于一个未经排序的序列，可以通过多次旋转得到其排序的序列。那么，如何计算生成排序数组所需旋转的次数呢？

算法描述

假设一个未经排序的序列为 $nums$ ，其排序序列为 $sort_nums$ 。将 $nums$ 旋转 $k$ 次后得到的新序列为 $rotate_nums_k$ 。 $sort_nums=sort(nums)$ ，其中 $sort$ 为排序函数。

可以发现，对于序列 $sort_nums$ 中的任意元素 $a[i]$ ，在序列 $rotate_nums_k$ 中的下标为 $(i+k)\%n$ ，其中 $n$ 为序列长度。因此，对于任意的下标 $i$ ，若其满足 $rotate_nums_k[i]<rotate_nums_k[i-1]$ ，则旋转次数为 $k$ 。

下面给出C++程序实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int calcRotations(vector<int>& nums) {
    vector<int> sort_nums(nums.begin(), nums.end());
    sort(sort_nums.begin(), sort_nums.end());
    int n = nums.size();
    int lo = 0, hi = n - 1;
    while (lo < hi) {
        int mid = (lo + hi) / 2;
        if (nums[mid] > nums[hi]) lo = mid + 1;
        else hi = mid;
    }
    int rotations = lo;
    return rotations;
}

int main() {
    vector<int> nums = {4, 5, 6, 7, 1, 2, 3};
    cout << "Rotations required to get sorted array: " << calcRotations(nums) << endl;
    return 0;
}

代码解释

在上述代码中，我们定义了一个函数calcRotations，其输入参数为一个整数向量nums。首先，我们将nums复制一份得到向量sort_nums，然后对其进行排序得到排好序的向量。接着，我们需要找到nums旋转的次数 $k$ ，即值为 $rotate_nums_k[i]<rotate_nums_k[i-1]$ 的最小下标 $i$ 。对于一个长度为 $n$ 的序列，可以证明从排好序的序列的下标 $1$ 开始找，一定存在这样的下标 $i$ ，使得旋转次数为 $i$ 。因此，我们可以采用二分查找的方法来查找 $i$ 。具体地，我们先将旋转次数的上限设为 $n$ ，下限设为 $0$ 。对于当前上限和下限所确定的区间 $[L,R]$ ，我们获取其中间位置 $m=(L+R)/2$ 。若 $nums[mid]>nums[hi]$ ，则意味着旋转次数大于等于 $m$ ，因此，我们需要从区间 $[m+1,R]$ 中继续查找。否则，旋转次数小于等于 $m$ ，因此，需要从区间 $[L,m]$ 中继续查找。最后，旋转次数即为查找到的下标。