C++程序检验幂等矩阵

在线性代数中，幂等矩阵是指一个矩阵与自身的乘积仍然等于自身的一个方阵。即，对于一个 n×n 的矩阵 A，当且仅当 A² = A 时，A 是幂等矩阵。在计算机科学中，幂等矩阵可用于处理数据冗余、网络负载均衡等问题。

本文将介绍如何用 C++ 编写一个程序，检验一个矩阵是否是幂等矩阵。

检验过程

我们可以通过遍历矩阵中的每一个元素来检验一个矩阵是否是幂等矩阵。具体来说，当且仅当一个矩阵中的每个元素 aij 均满足下列条件时，该矩阵才是幂等矩阵：

aij 只能是 0 或 1；
对于任意的 i ∈ {1, 2, …, n}，有 ∑j=1naij = 1；
对于任意的 i ≠ j，有 ai ≠ aj。

下面是一个示例代码，该代码实现了上述检验过程的功能，其中 matrix 是需要被检验的幂等矩阵，n 是矩阵的阶数。

bool is_idempotent(int **matrix, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int sum = 0;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (matrix[i][j] != 0 && matrix[i][j] != 1)
                return false;
            sum += matrix[i][j];
        }
        if (sum != 1)
            return false;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i != j && matrix[i][j] != 0)
                return false;
        }
    }
    return true;
}

示例

下面是一个 3×3 的幂等矩阵 A 的例子：

A = 1 0 0
    0 1 0
    0 0 0

通过调用上面的代码，我们可以检验该矩阵是否是幂等矩阵：

int main() {
    int **matrix = new int *[3];
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        matrix[i] = new int[3];
    }
    matrix[0][0] = 1;
    matrix[0][1] = 0;
    matrix[0][2] = 0;
    matrix[1][0] = 0;
    matrix[1][1] = 1;
    matrix[1][2] = 0;
    matrix[2][0] = 0;
    matrix[2][1] = 0;
    matrix[2][2] = 0;
    bool result = is_idempotent(matrix, 3);
    std::cout << std::boolalpha << result << std::endl;
    return 0;
}

运行该程序，输出结果为 true，说明 A 是幂等矩阵。