C++ 图同态映射

介绍

图同态映射可能是图论和计算科学中的一个关键概念。在C语言环境中，图同态映射是指两个图之间的一种映射，它保持它们顶点之间的连通关系。通常被表示为将一个图的顶点分配给另一个图的顶点，并同时保持它们之间的边。这个概念使得我们能够考察和分析不同图之间的相似性和关联性。通过在C中实现图同态映射，软件开发人员可以研究不同的应用程序，如图匹配、图染色和图同构测试，从而促进图论和相关计算任务的发展。

方法1：回溯算法

步骤1 - 初始化一个空的映射集合。
步骤2 - 从第一个图的第一个顶点开始。
步骤3 - 对于第二个图中的每个顶点，检查它是否可以映射到当前顶点。
步骤4 - 如果找到有效的映射，将其添加到映射数组中，并递归继续到下一个顶点。
步骤5 - 如果无法找到可行的映射，则回溯并尝试另一个可能的映射。
步骤6 - 重复步骤3-5，直到所有顶点都映射完成或没有找到有效映射。

示例

#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>

#define MAX_VERTICES 100

// Function to check if a mapping preserves adjacency relationships
bool isHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], int n, int v, int u) {
   for (int i = 0; i < v; i++) {
      if (graph1[v][i] && graph2[u][mapping[i]] == 0) {
         return false;
      }
   }
   return true;
}

// Backtracking approach to find graph homomorphism
bool findHomomorphismUtil(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], int n, int v) {
   if (v == n) {
      return true; // All vertices mapped
   }

   for (int u = 0; u < n; u++) {
      if (isHomomorphism(graph1, graph2, mapping, n, v, u)) {
         mapping[v] = u; // Add mapping
         if (findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, n, v + 1)) {
            return true;
         }
         mapping[v] = -1; // Remove mapping (backtrack)
      }
   }

   return false;
}

bool findHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int n) {
   int mapping[MAX_VERTICES];

   // Initialize mapping with -1
   for (int i = 0; i < n; i++) {
      mapping[i] = -1;
   }

   return findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, n, 0);
}
int main() {
   // Example graphs (adjacency matrices)
   int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
      {0, 1, 0},
      {1, 0, 1},
      {0, 1, 0}
   };

   int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
      {0, 1, 1},
      {1, 0, 0},
      {1, 0, 0}
   };

   int n = 3; // Number of vertices

   if (findHomomorphism(graph1, graph2, n)) {
      printf("A graph homomorphism exists.\n");
   } else {
      printf("No graph homomorphism exists.\n");
   }

   return 0;
}

输出

A graph homomorphism exists.

方法2：约束满足问题（CSP）算法

步骤1 - 在时序图中为每个顶点创建一个空间，最初包含主图的所有顶点。
步骤2 - 强调主图中的每个顶点，并将相应顶点空间内的值分配给该顶点，同时满足相邻顶点的约束条件。
步骤3 - 如果所有顶点都被分配了值，返回true。否则，回溯并尝试下一个可能的分配。
步骤4 - 重复步骤2-3，直到找到一个有效的分配或所有可能的结果都耗尽。

示例

#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MAX_VERTICES 100

// Function to check if a mapping preserves adjacency relationships
bool isHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], int n, int v, int u) {
   for (int i = 0; i < v; i++) {
      if (graph1[v][i] && graph2[u][mapping[i]] == 0) {
         return false;
      }
   }
   return true;
}

// CSP-based approach to find graph homomorphism
bool findHomomorphismUtil(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], bool domain[][MAX_VERTICES], int n, int v) {
   if (v == n) {
      return true; // All vertices assigned values
   }

   for (int u = 0; u < n; u++) {
      if (domain[v][u] && isHomomorphism(graph1, graph2, mapping, n, v, u)) {
         mapping[v] = u; // Assign value
         bool newDomain[n][MAX_VERTICES];
         memcpy(newDomain, domain, sizeof(bool) * n * MAX_VERTICES);

         // Update domain for adjacent vertices
         for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (graph1[v][i]) {
               for (int j = 0; j < n; j++) {
                  newDomain[i][j] = newDomain[i][j] && (j == u);
               }
            }
         }

         if (findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, newDomain, n, v + 1)) {
            return true;
         }
      }
   }

   return false;
}
bool findHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int n) {
   int mapping[MAX_VERTICES];
   bool domain[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES];

   // Initialize mapping with -1 and domain with true
   for (int i = 0; i < n; i++) {
      mapping[i] = -1;
      for (int j = 0; j < n; j++) {
         domain[i][j] = true;
      }
   }

   return findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, domain, n, 0);
}
int main() {
   // Example graphs (adjacency matrices)
   int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
      {0, 1, 0},
      {1, 0, 1},
      {0, 1, 0}
   };

   int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
      {0, 1, 1},
      {1, 0, 0},
      {1, 0, 0}
   };

   int n = 3; // Number of vertices

   if (findHomomorphism(graph1, graph2, n)) {
      printf("A graph homomorphism exists.\n");
   } else {
      printf("No graph homomorphism exists.\n");
   }

   return 0;
}