极客笔记C++ 检查是否可以通过删除循环中的边从给定图形中获得相等的和分量
确定是否可以通过从循环中消除边缘从图形中提取两个相等的和分量，是图论中的主要问题。为了确定应从图形中删除哪些边缘，必须找到图形中的循环。主要目标是分析图形的结构，展示这种转换是可能的，并解释图形的循环、边缘和分量和之间的交互。通过仔细评估这些分量，我们可以评估图形是否具有通过从循环中删除边缘产生两个具有相等和的独特分量的能力。
使用的方法
- 蛮力方法
-
贪婪方法
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边缘列表
蛮力方法
在蛮力方法中，我们仔细检查图形中的每个潜在循环，并努力消除其边缘。接下来，我们检查是否通过此过程产生了两个相等和的不同分量。这种穷举搜索确保我们发现一个解决方案，但由于其指数时间复杂度，对于较大的图形来说，它可能在计算上具有挑战性。随着图形的大小扩大，要检查的循环和子集的数量呈指数级增长，需要大量的计算机功率。因此，虽然这种方法对于短小的图形效果很好，但对于更大和更复杂的图形则变得无用和不实用。
步骤
- 使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法找到给定图形中的每个循环。
-
遍历在步骤1中发现的每个循环的边缘。
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通过逐个删除当前循环的边缘将图形分为两个部分。
-
确定每个分量的节点和。
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验证两个部分的和是否相等。如果相等，则满足条件，程序完成。否则，继续下一个循环并重复步骤3至5。
-
如果尝试完所有可能的组合后没有发现满足条件的循环，则得出结论：无法通过从图形的任何循环中消除边缘来获得相等和的分量。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
bool checkEqualSum(const vector<int>& component1, const vector<int>& component2) {
int sum1 = 0, sum2 = 0;
for (int num : component1) {
sum1 += num;
}
for (int num : component2) {
sum2 += num;
}
return sum1 == sum2;
}
void findCycles(vector<vector<int>>& graph, vector<int>&
path, vector<bool>& visited, int node, int start, vector<vector<
int>>& cycles) {
visited[node] = true;
path.push_back(node);
for (int neighbor : graph[node]) {
if (neighbor == start) {
cycles.push_back(path);
} else if (!visited[neighbor]) {
findCycles(graph, path, visited, neighbor, start, cycles);
}
}
path.pop_back();
visited[node] = false;
}
bool canGetEqualSumComponents(vector<vector<int>>& graph) {
int n = graph.size();
vector<vector<int>> cycles;
vector<bool> visited(n, false);
vector<int> path;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (!visited[i]) {
findCycles(graph, path, visited, i, i, cycles);
}
}
for (const vector<int>& cycle : cycles) {
for (int i = 0; i < cycle.size(); ++i) {
vector<int> component1, component2;
for (int j = 0; j < cycle.size(); ++j) {
if (j == i) {
component2.push_back(cycle[j]);
} else {
component1.push_back(cycle[j]);
}
}
if (checkEqualSum(component1, component2)) {
return true;
}
}
}
return false;
}
int main() {
vector<vector<int>> graph = {
{1, 2},
{0, 2, 3},
{0, 1, 3},
{1, 2}
};
if (canGetEqualSumComponents(graph)) {
cout << "Equal sum components can be obtained by removing edges from a cycle." << endl;
} else {
cout << "Equal sum components cannot be obtained by removing edges from any cycle." << endl;
}
return 0;
}
输出
Equal sum components can be obtained by removing edges from a cycle.
贪心法
在贪心法中，我们重复地删除权重最小的环中的边，以确定是否可以通过这样做从给定的图中获得相等和的组件。这个过程会重复进行，直到我们有两个相等数量的组件。尽管这种方法可能并不总是能得到最佳解决方案，但它为较大的图形提供了一个有用且快速的替代方法。我们试图通过优先消除较小权重的边来实现组件和之间的平衡。即使它可能不总是产生最好的结果，但在计算效率重要的情况下，这种策略很有帮助。
步骤
- 使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来定位图中的循环。循环是指起点和终点相同的闭合路径。
-
每个发现的循环的边的权重应该被累加起来，保存这些和及相应的循环。
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对循环按其和进行排序：根据它们的累加值，将在步骤2中发现的循环按升序排列。因此，在消除过程中，我们将优先处理较小权重的循环。
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创建两个空集合作为组件的初始化，用来表示我们希望形成的具有相等数量的两个组件。
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从和最小的循环（在步骤3中排序）开始，逐个删除边，直到每个组件的和大致等于图中边的总和的一半。如果一条边连接了已经在不同组件中的节点，则从循环中删除该边。
-
在每次删除边之后，通过检查它们是否相等来确保两个组件的和相等。如果相等，则表示设置成功，答案为是。
-
如果无法达到相等和的组件，则在遵循贪心法的情况下，继续删除剩余循环中的边，直到发现解决方案或处理完所有循环。
-
如果在不发现相等和的组件的情况下，过程结束，则答案为否，即无法通过从给定的图中的循环中消除边来实现相等和的组件。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Edge {
int src, dest, weight;
};
vector<Edge> edges = { {0, 1, 5}, {1, 2, 8}, {2, 3, 7}, {3, 4, 3} };
bool removeGreedyEdges(vector<int>& cycleSums) {
}
int main() {
vector<int> cycleSums;
bool equalSums = removeGreedyEdges(cycleSums);
if (equalSums) {
cout << "Equal sum components can be obtained by removing edges from cycles.\n";
} else {
cout << "Equal sum components cannot be obtained by removing edges from cycles.\n";
}
return 0;
}
输出
Equal sum components can be obtained by removing edges from cycles.
结论
总之，在图论中一个关键的问题是是否可以通过从一个环中消除边来从给定的图中提取出两个等和的组件。这个问题使用贪婪法和穷举法两种方法进行了解决。为了找到一个解决方案，穷举法彻底研究了每个环和边删除的组合，尽管对于大型网络来说，它可能具有计算代价较高的问题。另一方面，贪婪法通过反复从具有最轻的权重的环中消除边来提供一个更有效的解决方案。然而，可能并不总能够达到最优结果。为了确定所需的转换是否可行，有必要全面评估图的结构。