C++ 数列5+55+555+..的前n项和

数列5, 55, 555, …可以由几何级数推导出来，并且可以利用几何级数公式进行计算。

几何级数是一种每个后续项都是其前一项与某个特定项（比值）的乘积的级数类型。我们将利用几何级数的知识，来找到给定数列的和。

问题陈述

给定一个数n，找出数列5+5+555+…的前n项和。

示例

Input −  N = 3
Output − 595

解释

5 + 5 + 555 = 595.

Input −  N = 5
Output − 61716

解释

5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 61716.

解决方案

Let sum = 5 + 55 + 555 +… n terms. 
This is not GP, but we can relate it to GP in the following manner:
= 5(1) + 5(11) + 5(111) + … n terms
Taking 5 common:
= 5[1 + 11 + 111 + …n terms]
Divide and multiply by 9:
= 5/9[9 + 99 + 999 + … n terms] 
= 5/9[(10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + … n terms] 
= 5/9[(10^1 – 1) + (10^2 – 1) + (10^3 – 1) + … n terms] 
= 5/9[10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms – (1 + 1 + … n times)] 
= 5/9[10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms – n] 
We will solve (10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms) as following:
We can observe that it is a GP, where the first term a = 10.
And the common ratio r = 10^2/10 = 10.
Hence, the GP formula:
Sum of n terms = a(r^n-1) / (r-1) (where r>1)
Putting the values of r and a:
10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms = 10(10^n-1)/(10-1)
Substituting the values:
 5/9[10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms – n]  
= 5/9[10(10n-1)/(10-1) – n] 
= 50/81(10n – 1) – 5n/9

我们可以使用上面的公式来编程解决方案。

伪代码

主函数():

• 初始化 n 为 5。

• 调用函数：sumOfSeries(n)

sumOfSeries(int n):

• product = 0.6172 * (pow(10,n)-1) – 0.55 * n

• 打印 product

示例

下面是一个用于找到序列 5 + 55 + 555…..n 的和的 C++ 程序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to calculate the
// the sum of series
int sumOfSeries(int n){
   int product = 0.6172 * (pow(10,n)-1) - 0.55 * n;
   return product;
}
int main(){
   //Input
   int n = 5;
   //Function call to calculate the sum of series
   cout << "Given Series; 5 + 55 + 555 + ..." << endl;
   int answer = sumOfSeries(n);
   //Print the answer
   cout << "Sum up to 5 terms: " << answer<< endl;
   return 0;
}

输出

Given Series; 5 + 55 + 555 + ...
Sum up to 5 terms: 61716

分析

时间复杂度 − O(log n)。

由于幂函数的存在，该程序的时间复杂度是对数的。

空间复杂度 − O(1)。

由于没有使用额外的空间，空间复杂度是常数。

结论

在本文中，我们讨论了找到序列5+55+555+…直到n项的和的问题。n由输入给出。

我们使用等比数列求和的方法解决了该序列，并编写了伪代码和C++程序。