极客笔记C++ 为什么Dijkstra算法在负权重上失败？
介绍
Dijkstra算法是一种广泛应用的图遍历算法，用于在图中查找两个顶点之间的最短路径。在应用于非负权重的图时，它非常有效并能够产生最优结果。然而，当引入负权重时，Dijkstra算法无法产生正确的结果。在本文中，我们将探讨这种失败背后的原因，并讨论使用C语言处理图中负权重的三种不同方法。我们将逐步解释每种方法，并提供相应的代码和输出。
理解Dijkstra算法
Dijkstra算法通过从源顶点到图中的所有其他顶点逐步扩展最短路径的方式来工作，直到达到目标顶点。它维护一个所谓的“未访问集合”的顶点队列，并跟踪从源顶点到每个顶点的已知最短距离。
起初，到源顶点的距离设置为零，而其他顶点之间的距离设置为无穷大。随着算法的进行，它选择未访问集合中距离最小的顶点，探索其相邻顶点，并在发现更短的路径时更新它们之间的距离。这个过程一直持续到达到目标顶点或没有更多的顶点可访问为止。
负权重问题
Dijkstra算法中负权重的最大问题在于，它假设到达任何给定顶点的最短路径总是通过按距离从源顶点排序的顶点进行的。然而，当引入负权重时，这个假设不成立，导致产生错误的结果。
为了理解为什么会发生这种情况，让我们考虑一个Dijkstra算法失败的情况。假设我们有一个包含三个顶点的图 – A, B和C，它们的连接关系如下：A → (-1) → B → (-2) → C。
假设源顶点是A，Dijkstra算法将首先将到B的距离设置为-1，到C的距离设置为无穷大。然而，当考虑到从B到C的权重为-2的边时，算法将错误地将到C的距离更新为-3，假设路径A→B→C比当前路径A→C更短。
算法无法意识到负权重-2有助于减少从B到C的距离，使得路径A→C比A→B→C更短。这个错误的更新导致了错误的最短路径计算。
C语言的代码实现
现在让我们看一下用C语言实现Dijkstra算法的代码，并强调它在面对负权重时的限制。
示例
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <limits.h>
#define G 4
int short_dst(int dt[], bool visited[]) {
int min = INT_MAX, x;
for (int t = 0; t < G; t++)
if (visited[t] == false && dt[t] < min)
min = dt[t], x = t;
return x;
}
void dkst(int graph[G][ G], int src) {
int dist[G];
bool visited[G];
for (int i = 0; i < G; i++) {
dist[i] = INT_MAX;
visited[i] = false;
}
dist[src] = 0;
for (int count = 0; count < G - 1; count++) {
int u = short_dst(dist, visited);
visited[u] = true;
for (int t = 0; t < G; t++) {
if (!visited[t] && graph[u][t] && dist[u] != INT_MAX && dist[u] + graph[u][t] < dist[t])
dist[t] = dist[u] + graph[u][t];
}
}
printf("V\t Distance from Source\n");
for (int i = 0; i < G; i++)
printf("%d\t%d\n", i, dist[i]);
}
int main() {
int graph[G][ G] = {{0, 1, INT_MAX, INT_MAX},
{INT_MAX, 0, INT_MAX, INT_MAX},
{INT_MAX, INT_MAX, 0, -2},
{INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX, 0}};
dkst(graph, 0);
return 0;
}
输出结果
V Distance from Source
0 0
1 1
2 -2147483648
3 -2147483648
结论
Dijkstra算法是一种在非负权重图中寻找最短路径的有效和可靠算法。然而，当图中包含负权重时，它无法产生准确的结果。算法处理负权重时所做的错误假设导致最短路径计算错误。尽管Dijkstra算法在处理负权重方面有其限制，但在显示非负权重的情况下，它仍然是一个重要工具。通过理解其失败原因并研究替代算法（如Bellman-Ford算法），我们可以在选择最适合解决图相关问题的算法时做出明智的决策，确保在不同领域的高效和准确的结果。