C++ DSatur图着色算法

简介

图着色在图论中可能是一个重要问题。DSatur算法提出了一种有效的方法来减少着色过程中颜色的使用。通过选择饱和度最高的顶点，DSatur确保了最优的着色方案，同时最大化颜色的差异性并最小化颜色的使用量。

在本文中，我们使用C++探讨了DSatur算法在图着色中的使用。该算法的名称来自于它使用的两个关键概念：度和饱和度。它考虑到顶点的度和饱和度，饱和度表示其邻居使用的特定颜色的数量。

DSatur图着色算法

DSatur算法是图论中常用的图着色算法，具有在计算机科学和优化领域中的重要应用。它专注于为图的顶点分配颜色，确保相邻的顶点不共享相同的颜色。通过使用巧妙的方法，DSatur算法旨在减少着色过程中所需的颜色数量。在每一步中，算法选择饱和度最高的顶点（即已着色的相邻顶点数量），并将其分配给尚未被其相邻顶点使用的颜色。这种方法导致了优化的着色方案，最大化颜色的差异性并最小化颜色的使用量。DSatur算法为图着色问题提供了高效且实用的解决方案，使其成为计算机科学和优化领域的基本工具。

算法从选择具有最高度的端点作为起始端点，并将其分配给第一个颜色开始。然后迭代地选择未着色的顶点中具有最高饱和度的顶点。如果出现平局，则选择度最高的顶点。

方法1：使用邻接表

在这种方法中，图使用邻接表表示。算法为第一个顶点分配开始颜色，并通过计算其相邻顶点使用的特定颜色的数量来计算每个顶点的饱和度。然后，持续迭代地着色其余的顶点，选择具有最高饱和度的顶点并分配最小可用的颜色。

算法

• 步骤1 - 创建邻接表表示图，其中列表的每个组件代表一个顶点，并存储其相邻的顶点。

• 步骤2 - 实现DSaturGraphColoring函数。

• 步骤3 - 初始化三个向量 – colors用于存储每个顶点的分配颜色，immersion用于存储每个顶点的沉浸度，available用于跟踪可用的颜色。初始时，所有颜色设置为 -1，沉浸度设置为0，所有颜色都可用。

• 步骤4 - 为第一个顶点分配一个起始颜色（0），并在颜色向量中标记为已着色。

• 步骤5 - 通过遍历邻接表和检查其相邻顶点使用的特定颜色来计算每个顶点的沉浸度。将沉浸度存储在沉浸度向量中。

• 步骤6 - 从颜色向量中打印顶点 – 颜色集合。

示例

#include <iostream>
#include <list>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

class MyNewGraph {
   int numVertices;
   list<int> *adjList;

   public:
      MyNewGraph(int vertices) {
         numVertices = vertices;
         adjList = new list<int>[vertices];
      }

      void addMyEdge(int vertexA, int vertexB) {
         adjList[vertexA].push_back(vertexB);
         adjList[vertexB].push_back(vertexA);
      }

   void performMyDSaturGraphColoring();
};

void MyNewGraph::performMyDSaturGraphColoring() {
   vector<int> vertexColors(numVertices, -1);
   vector<int> saturationDegree(numVertices, 0);
   vector<bool> colorAvailability(numVertices, true);

   vertexColors[0] = 0;

   for (int myIndex = 1; myIndex < numVertices; myIndex++) {
      for (int myVertex : adjList[myIndex]) {
         if (vertexColors[myVertex] != -1)
            saturationDegree[myIndex]++;
      }
   }

   for (int k = 1; k < numVertices; k++) {
      int myMaxSaturation = -1;
      int myVertex = -1;

      for (int myIndex = 0; myIndex < numVertices; myIndex++) {
         if (vertexColors[myIndex] == -1 && saturationDegree[myIndex] > myMaxSaturation) {
            myMaxSaturation = saturationDegree[myIndex];
            myVertex = myIndex;
         }
      }

      int availableColor = 0;
      while (!colorAvailability[availableColor]) {
         availableColor++;
      }

      vertexColors[myVertex] = availableColor;
      colorAvailability[availableColor] = false;

      for (int myVertex : adjList[myVertex]) {
         saturationDegree[myVertex]++;
      }
   }

   cout << "MyVertex\tMyColor" << endl;
   for (int myIndex = 0; myIndex < numVertices; myIndex++) {
      cout << myIndex << "\t" << vertexColors[myIndex] << endl;
   }
}
int main() {
   MyNewGraph myNewGraph(4);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 1);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 2);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 3);
   myNewGraph.addMyEdge(2, 3);

   myNewGraph.performMyDSaturGraphColoring();

   return 0;
}

输出

MyVertex    MyColor
0   0
1   0
2   1
3   2

方法二：使用矩阵表示

在这种方法中，图使用矩阵表示。计算为每个顶点分配一个初始颜色，并通过检查其相邻顶点使用的不同颜色计算每个顶点的被浸润程度。然后迭代地对剩余顶点上色，选择被浸润程度最高的顶点，并分配最小可用颜色。

算法

• 步骤1 - 创建一个矩阵来表示图，其中每个单元格表示两个顶点之间的边。

• 步骤2 - 实现DSatur图着色函数。

• 步骤3 - 初始化三个向量 – colors用于存储每个顶点分配的颜色，immersion用于存储每个顶点的被浸润程度，accessible用于跟踪可用颜色。初始时，所有颜色设置为-1，被浸润程度设置为0，所有颜色都是可用的。

• 步骤4 - 为主要顶点分配一个初始颜色(0)，并在颜色向量中将其标记为已上色。

• 步骤5 - 通过迭代矩阵计算每个顶点的被浸润程度

示例

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

class MyNewGraph {
   int myNumVertices;
   vector<vector<int>> myAdjacencyMatrix;

   public:
      MyNewGraph(int vertices) {
         myNumVertices = vertices;
         myAdjacencyMatrix.resize(vertices, vector<int>(vertices, 0));
      }

      void addMyEdge(int myVertex1, int myVertex2) {
         myAdjacencyMatrix[myVertex1][myVertex2] = 1;
         myAdjacencyMatrix[myVertex2][myVertex1] = 1;
      }

   void performMyDSaturGraphColoring();
};

void MyNewGraph::performMyDSaturGraphColoring() {
   vector<int> myVertexColors(myNumVertices, -1);
   vector<int> mySaturationDegree(myNumVertices, 0);
   vector<bool> myColorAvailability(myNumVertices, true);

   myVertexColors[0] = 0;

   for (int myIndex = 1; myIndex < myNumVertices; myIndex++) {
      for (int myVertex : myAdjacencyMatrix[myIndex]) {
         if (myVertexColors[myVertex] != -1)
            mySaturationDegree[myIndex]++;
      }
   }

   for (int k = 1; k < myNumVertices; k++) {
      int myMaxSaturation = -1;
      int myVertex = -1;

      for (int myIndex = 0; myIndex < myNumVertices; myIndex++) {
         if (myVertexColors[myIndex] == -1 && mySaturationDegree[myIndex] > myMaxSaturation) {
            myMaxSaturation = mySaturationDegree[myIndex];
            myVertex = myIndex;
         }
      }

      int myAvailableColor = 0;
      while (!myColorAvailability[myAvailableColor]) {
         myAvailableColor++;
      }

      myVertexColors[myVertex] = myAvailableColor;
      myColorAvailability[myAvailableColor] = false;

      for (int myIndex = 0; myIndex < myNumVertices; myIndex++) {
         if (myAdjacencyMatrix[myVertex][myIndex]) {
            mySaturationDegree[myIndex]++;
         }
      }
   }

   cout << "MyVertex\tMyColor" << endl;
   for (int myIndex = 0; myIndex < myNumVertices; myIndex++) {
      cout << myIndex << "\t" << myVertexColors[myIndex] << endl;
   }
}
int main() {
   MyNewGraph myNewGraph(4);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 1);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 2);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 3);
   myNewGraph.addMyEdge(2, 3);

   myNewGraph.performMyDSaturGraphColoring();

   return 0;
}

输出结果

MyVertex    MyColor
0   0
1   0
2   1
3   2

结论

DSatur算法为图着色提供了一种有效且有力的策略，考虑了顶点度和沉浸级别。通过学术人士将颜色分配给图的顶点，可以减少使用的颜色数量。通过本文，我们研究了DSatur算法，并逐步解释了它的三种方法。我们使用C++中的连续性框架表示实现了方法1，并保证了可靠的着色结果。程序代码展示了DSatur算法在不同图着色场景中的有效应用，展示了它产生最佳着色方案的能力。总体而言，DSatur算法是图论中的一个重要工具，支持优化颜色分配并减少颜色使用。