SymPy 三角恒等式

在本文中，我们将介绍 SymPy（符号计算库）中的三角恒等式。三角恒等式是一些等式，描述了三角函数之间的关系。SymPy 是一个功能强大的 Python 库，用于进行符号计算和数学建模。它可以简化复杂的代数运算，包括求导、积分、求极限以及解方程等。

阅读更多：SymPy 教程

SymPy 是什么？

SymPy 是一个用于符号计算的 Python 库。它提供了一种处理符号表达式的方式，可以对代数运算、微积分以及各种数学问题进行求解。SymPy 的主要特点包括：

• 完全支持符号计算，可以处理复杂的代数表达式。
• 支持求导、积分、求和以及解方程等操作。
• 提供多种数学函数和常数的实现，包括三角函数、指数函数、对数函数等。
• 可以进行线性代数、微积分和离散数学的计算。
• 与 Python 无缝整合，可以与其他科学计算库一同使用。

SymPy 中的三角恒等式

SymPy 提供了一系列三角恒等式，用于简化和转换三角函数表达式。以下是一些常见的三角恒等式：

• 双角恒等式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x)
• 和差恒等式：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
• 三角函数平方恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1
• 余弦和正弦互余恒等式：sin(\frac{\pi}{2} – x) = cos(x), cos(\frac{\pi}{2} – x) = sin(x)

通过使用 SymPy，我们可以验证和应用这些三角恒等式。下面是一些示例：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
eq1 = sp.sin(2 * x) - 2 * sp.sin(x) * sp.cos(x)  # 双角恒等式
eq2 = sp.cos(2 * x) - sp.cos(x) ** 2 + sp.sin(x) ** 2
eq3 = sp.sin(x) ** 2 + sp.cos(x) ** 2 - 1  # 三角函数平方恒等式

print(sp.simplify(eq1))
print(sp.simplify(eq2))
print(sp.simplify(eq3))

输出结果：

0
0
0

通过以上示例，我们可以看到 SymPy 成功地验证了这些三角恒等式。

SymPy 中的其他三角函数操作

除了三角恒等式，SymPy 还提供了其他一些有用的三角函数操作。下面是一些示例：

• 化简三角函数表达式：

eq = sp.sin(x) / sp.cos(x)  # 化简 sin(x) / cos(x)
simplified_eq = sp.simplify(eq)
print(simplified_eq)

输出结果：

tan(x)

通过 SymPy 的 simplify 函数，我们可以将三角函数表达式化简为更简洁的形式。

• 解三角方程：

solution = sp.solve(sp.sin(x) - 1, x)  # 解 sin(x) = 1
print(solution)

输出结果：

[pi/2 + 2*pi*k]

SymPy 的 solve 函数可以用于求解各种方程，包括三角方程。

• 求导和积分：

f = sp.sin(x)
df = sp.diff(f, x)  # 对 sin(x) 求导
integral = sp.integrate(f, x)  # 求 sin(x) 的积分
print(df)
print(integral)

输出结果：

cos(x)
-cos(x)

通过 SymPy 的 diff 和 integrate 函数，我们可以对三角函数进行求导和积分运算。

总结

在本文中，我们介绍了 SymPy 中的三角恒等式以及其他一些常用的三角函数操作。SymPy 是一个强大的符号计算库，可以用于简化和转换三角函数表达式，求解三角方程，以及进行求导和积分等操作。通过使用 SymPy，我们可以方便地进行复杂的数学计算和分析。