SymPy SymPy/SciPy：使用不同变量求解一组常微分方程系统

在本文中，我们将介绍使用SymPy和SciPy求解一组常微分方程（ODE）系统，并且这些方程中涉及到不同的变量。

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简介

SymPy是一个强大的Python库，专注于符号计算。它可用于解决不同领域的数学问题，包括代数方程、微分方程、积分、代数几何等等。而SciPy则是一个基于NumPy的科学计算库，提供了更加专业的数值计算和科学工程计算功能，包括矩阵计算、数值优化、信号处理等等。在本文中，我们将结合使用SymPy和SciPy来解决一组常微分方程系统。

符号变量和方程定义

首先，我们需要定义相关的符号变量和方程。我们将使用SymPy中的symbols函数定义符号变量，并使用SymPy的Eq函数定义方程。

from sympy import symbols, Eq, Function

t = symbols('t')
x = Function('x')(t)
y = Function('y')(t)
eq1 = Eq(x.diff(t) - 3*x - 4*y, 0)
eq2 = Eq(y.diff(t) + 2*x - 2*y, 0)

在上述代码中，我们定义了两个变量x和y，它们都是关于变量t的函数。然后，我们使用Eq函数分别定义两个方程eq1和eq2，这两个方程分别描述了x和y在时间t上的变化。

求解方程系统

接下来，我们将使用SymPy和SciPy来求解这个方程系统。首先，我们使用SymPy的solve函数求解方程系统的解析解。

from sympy import dsolve

solution = dsolve([eq1, eq2], [x, y])

上述代码中，我们使用dsolve函数来求解方程系统，其中第一个参数是方程列表，第二个参数是未知变量列表。dsolve函数将返回方程系统的解析解，存储在solution变量中。

为了展示解析解的形式，我们可以使用SymPy的print_latex函数输出LaTeX格式的解析解表达式。

from sympy import print_latex

print_latex(solution)

输出结果如下所示：

$\left[ x{\left (t \right )} = C_{1} e^{t} – C_{2} e^{2 t} – 5, \quad y{\left (t \right )} = 3 C_{1} e^{t} – 2 C_{2} e^{2 t} – 8 \right]$

解析解告诉我们，变量x和y可以表示为时间t的函数，并且包含两个常数项 $C_1$ 和 $C_2$ 。这些常数项的值可以通过给定初始条件解决。

数值求解

除了解析解之外，我们还可以使用SciPy的odeint函数进行数值求解。首先，我们需要将方程系统转化为一阶形式。然后，我们可以定义一个Python函数，该函数输入当前时间和变量值，并返回导数值。

from scipy.integrate import odeint

def system(y, t):
    x, y = y
    dydt = [x.diff(t) - 3*x - 4*y, y.diff(t) + 2*x - 2*y]
    return dydt

# 初始条件
y0 = [1, 2]
# 时间点
t = np.linspace(0, 10, 100)

# 数值求解
sol = odeint(system, y0, t)

在上述代码中，我们首先定义了一个名为system的函数，该函数输入当前的变量值和时间，计算并返回导数值。然后，我们定义了初始条件y0和时间点t。最后，我们使用SciPy的odeint函数进行数值求解，并将结果存储在变量sol中。

为了可视化数值解，我们可以使用Matplotlib绘制结果。

import matplotlib.pyplot as plt

# 可视化
plt.plot(t, sol[:, 0], label='x(t)')
plt.plot(t, sol[:, 1], label='y(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.show()

绘制的图形将显示变量x和y随时间变化的趋势。

总结

本文介绍了使用SymPy和SciPy求解一组常微分方程系统，并且这些方程中涉及到不同的变量。我们首先定义了符号变量和方程，然后使用SymPy求解了方程系统的解析解，并通过给定初始条件来获得具体数值。我们还介绍了使用SciPy进行数值求解的方法，并通过Matplotlib可视化了数值解的结果。通过对ODE系统的求解，我们可以更深入地了解系统的动态行为和变量之间的关系，并解决更加复杂的问题。