JavaScript 对角占优矩阵

矩阵或矩阵是计算机科学和数学中用于快速近似复杂计算的重要工具。矩阵是一个由按行和列组织的数字组成的集合，可以表示数据或数学问题。

通过本文，我们将了解关于对角占优矩阵的概念、算法和示例，以及在各种编程语言中的实现。

对角占优矩阵

如果对于矩阵中的每一行，对角线元素的绝对值大于或等于非对角线元素的绝对值之和，则称该方阵为对角占优矩阵。简而言之，即非对角线元素之和小于对角线元素。

如果我们有一个具有i行j列的方阵a，我们可以使用数学方程表示为对角占优矩阵，如下所示：

示例

A = [ [6, -2, 0, 0],
   [2, 8, -3, 0],
   [1, 2, 9, -4],
   [0, 1, -2, 7]
]

这个矩阵是对角线优势的，因为它满足以下条件 −

|a11| ≥ |a12| + |a13| + |a14| == |+6| ≥ |+2| + |+1| + |+0|
|a22| ≥ |a21| + |a23| + |a24| == |+8| ≥ |+2| + |+3| + |+0|
|a33| ≥ |a31| + |a32| + |a34| == |+9| ≥ |+1| + |+2| + |+4|
|a44| ≥ |a41| + |a42| + |a43| == |+7| ≥ |+0| + |+1| + |+2|

问题陈述

给定一个方阵，编写一个JavaScript程序来检查该矩阵是否为对角线优势。

示例

让我们考虑一个3×3的矩阵-

| 4 -1 0 |
| -1 4 -1|
| 0 -1 4 |

在这个矩阵中，每行的对角线元素分别是4、4和4，它们都大于该行中其他元素绝对值之和。因此，这个矩阵是对角占优的。

现在让我们来看看解决上述问题的方法。

方法1：暴力法

暴力法包括迭代矩阵的每一行，并判断对角线元素是否大于该行中其他元素绝对值之和。

算法

迭代矩阵的每一行。
计算每行中其他元素绝对值之和。
检查该行的对角线元素是否大于或等于步骤2中确定的和。
如果对角线元素大于或等于和，则继续迭代到下一行。
如果对角线元素小于和，则返回false，表示矩阵不是对角占优的。

示例

<!DOCTYPE html>
<html>
<body>
   <div id="matrix"></div>
   <div id="output"></div>
   <script>
      function isDiagonallyDominant(matrix) {
         const rows = matrix.length;
         const cols = matrix[0].length;
         for(let i = 0; i < rows; i++) {
            let sum = 0;
            for(let j = 0; j < cols; j++) {
               if(i !== j) {
                  sum += Math.abs(matrix[i][j]);
               }
            }
            if(Math.abs(matrix[i][i]) < sum) {
               return false;
            }
         }
         return true;
      }
      const matrix = [[4, -1, 0], [-1, 4, -1], [0, -1, 4]];
      const output = isDiagonallyDominant(matrix) ? 'Matrix is diagonally dominant.' : 'Matrix is not diagonally dominant.';
      document.getElementById('matrix').innerHTML = 'Matrix: ' + JSON.stringify(matrix);
      document.getElementById('output').innerHTML = 'Output: ' + output;
   </script>
</body>
</html>

时间复杂度：O(n^2)，其中n是矩阵的大小。

方法2：排序

在这种方法中，我们按降序对每行的绝对值进行排序。然后我们确定该行的对角元素是否大于或等于最大n-1个绝对值的和，其中n是矩阵的大小。

算法

迭代矩阵的行。
按降序对行中的项的绝对值进行排序。
添加最大的n-1个绝对值，其中n是矩阵的大小。
检查步骤3中确定的和的对角元素是否大于或等于行的对角元素。
如果对角元素大于或等于和，则继续迭代到下一行。
如果对角元素小于和，则返回false，表示矩阵不是对角占优的。

示例

<!DOCTYPE html>
<html>
<body>
   <h2>Diagonally Dominant Matrix</h2>
   <p id="matrix"></p>
   <p id="output"></p>
   <script>
      function isDiagonallyDominant(matrix) {
         const rows = matrix.length;
         const cols = matrix[0].length;
         for(let i = 0; i < rows; i++) {
            const sortedRow = matrix[i].map(Math.abs).sort((a, b) => b - a);
            const sum = sortedRow.slice(1, cols).reduce((acc, val) => acc + val, 0);
            if(sortedRow[0] < sum) {
               return false;
            }
         }
         return true;
      }

      // Example matrix
      const matrix = [[4, -1, 0], [-1, 4, -1], [0, -1, 4]];

      // Display input matrix
      const matrixElement = document.getElementById("matrix");
      matrixElement.innerHTML = "Input Matrix: <br>" + JSON.stringify(matrix);

      // Check if the matrix is diagonally dominant
      const isDominant = isDiagonallyDominant(matrix);

      // Display output
      const outputElement = document.getElementById("output");
      outputElement.innerHTML = "Is diagonally dominant: " + isDominant;
   </script>
</body>
</html>

时间复杂度：O(n2log n)，其中n是矩阵的大小。

方法3：行缩放

在这种方法中，我们首先将矩阵的每一行进行缩放，使其对角元素等于1。然后我们查看该行中其他元素的绝对值是否小于1。

算法

遍历矩阵的行。
找出绝对值最大的行。
缩放行，直到对角元素等于1。
检查该行中剩余元素的绝对值是否小于1。
如果所有行都满足步骤4的条件，则返回true，表示矩阵是对角优势的。
如果任何一行不满足步骤4的要求，则返回false，表示矩阵不是对角优势的。

示例

<!DOCTYPE html>
<html>
<body>
   <h3>Diagonally Dominant Matrix</h3>
   <p>Matrix:</p>
   <pre id="matrix"></pre>
   <p>Is diagonally dominant: <span id="output"></span></p>
   <script>
      function isDiagonallyDominant(matrix) {
         const rows = matrix.length;
         const cols = matrix[0].length;
         for(let i = 0; i < rows; i++) {
            const maxAbsVal = Math.max(...matrix[i].map(Math.abs));
            if(maxAbsVal === 0) {
               return false;
            }
            const scale = 1 / maxAbsVal;
            for(let j = 0; j < cols; j++) {
               matrix[i][j] *= scale;
            }
            const sum = matrix[i].slice(0, i).reduce((acc, val) => acc + Math.abs(val), 0) +  matrix[i].slice(i+1, cols).reduce((acc, val) => acc + Math.abs(val), 0);
            if(sum >= 1) {
               return false;
            }
         }
         return true;
      }
      const matrix = [[4, -1, 0], [-1, 4, -1], [0, -1, 4]];
      document.getElementById('matrix').innerHTML = matrix.map(row => row.join(' ')).join('  
');
      document.getElementById('output').innerHTML = isDiagonallyDominant(matrix) ? 'true' : 'false';
   </script>
</body>
</html>

时间复杂度：O(n3)，其中n是矩阵的大小。