C++ 按给定关系生成从1到N的字典序最小排列

在这个主题中，我们寻找按关系限制的从1到N的字典序最小排列。关系描述了排列组件之间的相对顺序。我们通过根据这个关系仔细组织数字，确保生成的排列在字典序比较中尽可能小。为了实现数字的最低可行排列，我们需要找到既满足关系限制又能做到这一点的最佳序列。为了高效地产生期望的结果，这个过程需要进行详细的分析和元素选择。

所用方法

贪婪方法
回溯

贪婪方法

我们在使用贪婪策略生成按给定关系从1到N的字典序最小排列时采取有序的方法。在每个阶段，我们从剩下的候选元素中选择最小的元素，该元素满足指定的关系。这个最小的有效元素被添加到排列中，但稍后会被忽略。在之后的步骤中，我们重复这个过程，确保这些最小的元素与之前引入的元素保持所需的关系。通过这种方式，我们始终选择最短的有效元素，并创建满足给定关系的最低字典序排列。通过重复这个过程，直到所有项目都在最终排列中表示，可以确保满足字典顺序和指定关系的期望结果。

步骤

初始化一个空列表，用于保存生成的排列
按照提供的关系将元素按升序排列
继续迭代已排序的元素
对于每个元素，确定将其包含在排列中是否满足与已添加元素之间的关系
如果关系满足，将元素添加到排列列表中并忽略它
重复执行步骤4-5，直到排列包含每个项目
结果列表反映了从1到N的字典序最小排列

示例

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

bool checkRelation(const vector<int>& permutation, int num) {

    return true; 
}

vector<int> generateLexicographicallySmallestPermutation(int N) {
    vector<int> permutation;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        permutation.push_back(i);
    }

    sort(permutation.begin(), permutation.end(), [](int a, int b) {
        return checkRelation({a}, b);
    });

    return permutation;
}

int main() {
    int N = 5; 

    vector<int> result = generateLexicographicallySmallestPermutation(N);

    cout << "Lexicographically Smallest Permutation: ";
    for (int num : result) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

输出

Lexicographically Smallest Permutation: 5 4 3 2 1

回溯算法

回溯是一种有用的算法策略，用于在维持特定关系的情况下定位1到N的字典顺序最小的排列。它采用一种有条不紊的方法，在排列的每个位置上做出决策并考虑每个备选项。如果选择的元素导致错误的答案，该方法会返回到前一个位置，并查看其他选项。通过彻底研究所有排列并不断改进排列，它最终确定符合所需关系的理想配置。为了找到最可信的排列，同时尽量减少字典上的印记，回溯确保进行彻底搜索。在可能有许多可能结果的情况下，这种方法特别有用，因为它快速找到所需的结果，同时剪枝无效的备选项。

步骤

识别和确定提供的关系，该关系指定排列中组件的相对顺序。
创建变量和数据结构，用于跟踪当前排列和其他限制条件。
选择要开始回溯过程的排列的第一个元素。
对于排列中的每个位置尝试满足指定关系的每个元素。
确保您选择的元素不违反任何规则或干扰关系。
通过添加所选元素（如果有效）并继续到下一个槽位来更新排列。
递归地移动到排列中的下一个位置，并重复步骤4到6，以继续回溯过程。
当所有位置都填满时，当前排列是字典上最小的一个。
如果找到更小的排列，请将当前排列与到目前为止最好的排列进行比较，并更新结果。
删除最近添加到当前排列的元素，并返回到原始位置以考虑其他选项。
检查每个组合，直到考虑完所有选择。
作为最终输出，在回溯过程完成后，返回字典上最小的排列。

示例

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int> permutation;
vector<bool> used;

bool isRelationSatisfied(int a, int b) {
    return a > b;
}

void generatePermutation(int N) {
    if (permutation.size() == N) {
        for (int num : permutation) {
            cout << num << " ";
        }
        cout << endl;
        return;
    }

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        if (!used[i] && (permutation.empty() || isRelationSatisfied(permutation.back(), i))) {
            permutation.push_back(i);
            used[i] = true;
            generatePermutation(N);
            permutation.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
}

int main() {
    int N = 4;
    used.resize(N + 1, false);
    generatePermutation(N);
    return 0;
}

输出

4 3 2 1

结论

为了创建满足特定关系的1到N的字典序最小的排列，必须使用贪婪法或回溯法之一。贪婪法通过在每一步选择最小的有效元素来有效地创建最小的排列。另一方面，回溯法仔细地调查每一种变体，以确定最佳的、字典序最小的安排。根据关系的复杂性和可行排列的数量，这两种技术都有特定的优势。通过仔细分析问题并使用正确的策略，我们可以轻松地生成满足指定关系的所需的字典序最小的排列。