极客笔记C++ 最大化图中与其他所有节点断开连接的节点数量
我们必须找出并隔离与其他节点连接最少的节点，以最大化与所有其他节点断开连接的节点数量。这个策略需要反复删除度数最低（连接最少）的节点，直到没有找到这样的节点为止。这样做会得到最大数量的节点相互分离，不断将图中的不同组件隔离。通过确保剩下的节点都是微弱关联的，该策略扩大了与任何其他节点没有关联的节点数量。
使用的方法
- 贪心算法
-
最大独立集（MIS）算法
贪心算法
贪心算法的做法是反复删除度数最低（连接最少）的节点，以最大化在图中与任何其他节点不连接的节点数量。直到没有这样的节点为止，该过程一直进行。通过反复消除与其他节点连接最少的节点，可以增加孤立节点的数量，从而在图中创建不连通的组件。请记住，贪心算法可能不始终保证得到精确的最大断开节点数，结果可能会因删除节点的顺序而变化。但是，它提供了一种通常简单而有效的策略来提高没有连接的节点数量。
步骤
- 从初始图G开始。
-
在开始时创建一个空列表来存储断开连接的节点。
-
重复以下步骤，直到没有可以删除的节点：
a. 在当前图G中，找到度数最低（连接最少）的节点。
b. 如果有多个度数相同的节点，则选择任意一个节点。
c. 将选择的节点从图G中删除，并将其添加到断开连接的节点列表中。
- 继续搜索，直到没有最低度数的节点。
-
在策略结束时，与图中相互分离的节点数由获取到的已删除节点列表表示。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Graph {
int V;
vector<vector<int>> adj;
Graph(int vertices) : V(vertices) {
adj.resize(V, vector<int>());
}
void addEdge(int u, int v) {
adj[u].push_back(v);
adj[v].push_back(u);
}
int findLowestDegreeNode() {
int minDegree = V + 1;
int node = -1;
for (int i = 0; i < V; ++i) {
if (adj[i].size() < minDegree) {
minDegree = adj[i].size();
node = i;
}
}
return node;
}
vector<int> getDisconnectedNodes() {
vector<int> disconnected;
while (true) {
int node = findLowestDegreeNode();
if (node == -1)
break;
disconnected.push_back(node);
for (int neighbor : adj[node]) {
adj[neighbor].erase(remove(adj[neighbor].begin(), adj[neighbor].end
(), node), adj[neighbor].end());
}
adj[node].clear();
}
return disconnected;
}
};
void printGraph(Graph& G) {
for (int i = 0; i < G.V; ++i) {
cout << "Node " << i << " : ";
for (int neighbor : G.adj[i]) {
cout << neighbor << " ";
}
cout << endl;
}
}
int main() {
Graph G(5);
G.addEdge(0, 1);
G.addEdge(0, 2);
G.addEdge(1, 2);
G.addEdge(3, 4);
cout << "Initial Graph:" << endl;
printGraph(G);
G.getDisconnectedNodes();
cout << "Graph after removing nodes:" << endl;
printGraph(G);
return 0;
}
输出
Initial Graph:
Node 0 : 1 2
Node 1 : 0 2
Node 2 : 0 1
Node 3 : 4
Node 4 : 3
最大独立集（MIS）方法
最大独立集（MIS）方法旨在识别可行的节点最大子集，其中没有两个节点是相邻（连接的），目标是增加与图中其他所有节点都没有连接的节点数。该过程是找到图中没有共享边的节点并将其添加到独立集中。通过最大化断开连接的节点数量，确保所选节点彼此之间没有连接。所选的节点及其邻居在算法继续进行时被迭代地从图中移除。通过重复此过程直到不能再将节点添加到独立集中，我们可以获得与图中的每个其他节点都没有连接的节点的最大计数。
步骤
- 从初始图G开始。
-
初始化一个空集来存储最大独立集（MIS）。
-
重复以下步骤，直到不能再将节点添加到MIS中：
a. 在当前图G中找到一个与任何其他节点都没有共享边或邻居的节点。
b. 将所选节点包括在MIS集合中。
c. 从图G中减去所选节点及其邻居。
- 继续执行此操作直到MIS集合无法再包含更多节点。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>
using namespace std;
class Graph {
private:
vector<set<int>> adjacencyList;
public:
Graph(int numNodes) : adjacencyList(numNodes) {}
void addEdge(int u, int v);
set<int> findIndependentSet();
};
void Graph::addEdge(int u, int v) {
adjacencyList[u].insert(v);
adjacencyList[v].insert(u);
}
set<int> Graph::findIndependentSet() {
set<int> independentSet;
vector<bool> included(adjacencyList.size(), false);
while (true) {
int nodeToAdd = -1;
for (int i = 0; i < adjacencyList.size(); ++i) {
if (!included[i]) {
bool canAdd = true;
for (const int& neighbor : adjacencyList[i]) {
if (included[neighbor]) {
canAdd = false;
break;
}
}
if (canAdd) {
nodeToAdd = i;
break;
}
}
}
if (nodeToAdd == -1) {
break;
}
independentSet.insert(nodeToAdd);
included[nodeToAdd] = true;
for (const int& neighbor : adjacencyList[nodeToAdd]) {
included[neighbor] = true;
}
}
return independentSet;
}
int main() {
// Example graph with 7 nodes and 6 edges
Graph graph(7);
graph.addEdge(0, 1);
graph.addEdge(0, 2);
graph.addEdge(1, 3);
graph.addEdge(1, 4);
graph.addEdge(2, 5);
graph.addEdge(2, 6);
set<int> maxIndependentSet = graph.findIndependentSet();
for (const int& node : maxIndependentSet) {
cout << node << " ";
}
cout << endl;
return 0;
}
输出
0
结论
我们使用了两种主动方法，即贪心方法和最大独立集(MIS)方法，以最大化图中互不相连的节点数量。贪心方法涉及创建不连通的组件，反复删除度最低的节点，并增加孤立节点的数量。虽然简单，但不能始终确保精确的最大计数。另一方面，最大独立集方法通过寻找没有任何相邻连接的最大可行节点子集，以相互隔离节点。最大独立集方法通过逐步将节点添加到独立集并将它们与其邻居一起从图中删除，从而有序地达到最大数量的断开节点。