C++ 从树中移除一个顶点后计算连接组件的查询

在移除树顶点之后，可以使用以下查询来确定剩余的连接组件数量：首先考虑树的结构。然后，通过使用广度优先搜索或深度优先搜索算法遍历树，检查每个连接组件。使用相同的遍历方法确定所需顶点被驱逐后的连接组件数量。结果将由驱逐前后计数之间的差异决定。该方法可以有效监测连通性变化，并帮助计算更新后的树中的连接组件。

使用的方法

深度优先搜索（DFS）方法
并查集方法

深度优先搜索（DFS）方法

在DFS方法中，我们从原始树中选择任意一个节点开始进行DFS遍历，以计算在从树中移除一个顶点后的连接组件数量。在此遍历过程中，我们遍历了每个连接的节点，并将每个节点标记为已访问，并跟踪DFS被调用的次数。在移除指定的顶点后，我们执行新的DFS遍历，确保在探索阶段跳过被移除的顶点。通过比较移除前后DFS被调用的次数，我们可以确定更新后的树中的连接组件数量。该方法可以有效计算连接元素，并调整树结构的变化。

步骤

选择原始树上的任意顶点作为DFS遍历的起点。
设置变量“count”以开始计算连接组件。首先，将其设置为0。
从选定的起始顶点开始，使用DFS遍历树。
对DFS遍历期间访问过的每个顶点进行标记，并递增“count”以表示每次新的DFS调用（即每次发现一个连接组件）。
在DFS遍历完成后，“count”将表示原始树中的连接元素数量。
从树中移除指定的顶点。
从相同起始顶点再次进行DFS遍历，确保避免探索已移除的顶点。
在运行DFS时，类似之前地更新“count”变量。
更新后的树中的相关组件数量将由开始“count”减去后续“count”得出。

示例

#include <iostream>
#include <vector>

void dfs(const std::vector<std::vector<int>>& tree, int v, 
std::vector<bool>& visited, int& count) {
   visited[v] = true;
   count++;
   for (int u : tree[v]) {
      if (!visited[u]) {
         dfs(tree, u, visited, count);
      }
   }
}

int countConnectedComponents(const std::vector<std::vector<int>>& tree, int startVertex) {
   int n = tree.size();
   std::vector<bool> visited(n, false);
   int count = 0;

   dfs(tree, startVertex, visited, count);
   return count;
}

int main() {
   std::vector<std::vector<int>> tree = {
      {1, 2},
      {0, 3},
      {0, 4},
      {1},
      {2}
   };

   int startVertex = 0;
   std::cout << countConnectedComponents(tree, startVertex) << std::endl;
   return 0;
}

输出

并查集方法

我们首先通过在树中移除一个顶点后，在并查集算法中将每个顶点初始化为一个单独的组件，以计算连通分量的数量。为了跟踪原始树中的各个部分和连接关系，我们采用了并查集数据结构。我们更新并查集数据结构以反映移除指定顶点后树的连通性的变化。然后计算并查集数据结构中不同集合的数量。得到的计数表示树更新后的组件的连通性。移除顶点后，并查集方法能够有效地计算连通分量并处理树的结构变化。

步骤

创建一个数组或数据结构，用于表示树中的每个顶点作为树的一个独立部分。最初，每个顶点都是其自身的父节点。
在预处理步骤中使用并查集操作以确定原始树的连通分量数。
使用并查集数据结构将包含顶点u和v的部分组合起来，对树的初始连通性进行建立。
从树中移除指定的顶点。
将预处理步骤中的并查集操作应用于修改后的树。
移除后，在并查集数据结构中计算不同父节点的数量。
得到的计数表示树更新后的组件的连通性。

示例

#include <iostream>
#include <vector>

class UnionFind {
public:
   UnionFind(int n) {
      parent.resize(n);
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
         parent[i] = i;
      }
   }

   int find(int u) {
      if (parent[u] != u) {
         parent[u] = find(parent[u]);
      }
      return parent[u];
   }

   void unite(int u, int v) {
      int rootU = find(u);
      int rootV = find(v);
      if (rootU != rootV) {
         parent[rootU] = rootV;
      }
   }

   int countDistinctParentRepresentatives() {
      int n = parent.size();
      std::vector<bool> distinct(n, false);
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
         distinct[find(i)] = true;
      }
      int count = 0;
      for (bool isDistinct : distinct) {
         if (isDistinct) {
            count++;
         }
      }
      return count;
   }

private:
   std::vector<int> parent;
};

int main() {
   int n = 5;
   UnionFind uf(n);

   uf.unite(0, 1);
   uf.unite(0, 2);
   uf.unite(2, 3);
   uf.unite(2, 4);

   std::cout << uf.countDistinctParentRepresentatives() << 
std::endl;
   return 0;
}

输出

结论

总的来说，所提供的方法在特定顶点被移除后，有效地计算了树中连接部分的数量。使用深度优先搜索（DFS）方法和并查集方法来处理树结构的连通性变化是有效的。DFS方法从选择的顶点开始遍历，标记每个访问过的节点，并计算连接的组件数量。在顶点被移除后，通过比较遍历前后的数量来获取更新后的数量，并在不包括已移除节点的情况下执行新的遍历。

初始的连通分量数量通过并查集方法的合并操作确定，该方法将每个顶点初始化为一个单独的分量。在顶点被移除后，应用相同的合并操作，并计算不同的父代代表来获取更新后的数量。

在移除顶点后，这两种方法都提供了关于树的连通性的有用见解，并适用于各种情况。