C++ 等差数列求和 (n^2-1^2) + 2(n^2-2^2) +….n(n^2-n^2)

在这篇文章中，我们将研究计算给定等差数列 (n^2 – 1^2) + 2(n^2 – 2^2) + …. n(n^2 – n^2) 的不同方法。在第一种方法中，我们将逐个计算序列的每个元素，并将其添加到最终的求和中。

在第二种方法中，我们将推导出一个数学公式来计算给定等差数列的和，并将程序的时间复杂度从 O(n) 到 O(1)。

问题陈述 - 给定一个数 “n”，我们的任务是计算给定等差数列 (n^2 – 1^2) + 2(n^2 – 2^2) + …. n (n^2 – n^2) 的和。

示例

输入 - 数字 = 5

输出 - 当 n = 5 时，等差数列 (n^2 – 1^2) + 2(n^2 – 2^2) + …. n(n^2 – n^2) 的和为 150。

输入 - 数字 = 3

输出 - 当 n = 3 时，等差数列 (n^2 – 1^2) + 2(n^2 – 2^2) + ….n (n^2 – n^2) 的和为 18。

方法1

这是最简单的等差数列求和问题的暴力解法。

仔细分析该等差数列后，我们可以得出结论，对于任意的数 n，我们有

和 = ∑ i*(n^2 – i^2)，其中 i 的范围是从 1 到 n。

因此，对于暴力解法，我们可以在循环中使用上述公式来生成所需的求和。

示例

以下是该方法的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main () {
   int num = 3;
   long long sum=0;
   for (int i=1  ; i<num ; i++ ) {
      sum = sum+i*( num*num - i*i );
   }
   cout<< " The sum of the series (n^2 - 1^2) + 2(n^2 - 2^2) + …. n(n^2 - n^2) for n = " << num << " is " <<sum;
   return 0;
}

输出

The sum of the series (n^2 - 1^2) + 2(n^2 - 2^2) + …. n(n^2 - n^2) for n = 3 is 18

复杂度

时间复杂度 – O(n)，因为我们使用循环迭代从1到n的数字。

空间复杂度 – 由于我们没有使用任何外部空间，因此该方法的空间复杂度为O(1)。

方法2

在这种方法中，我们将推导出一个公式来直接得到所需的系列和，因此不需要迭代，这种方法将在常数时间复杂度内解决给定问题。

如前所述，我们得到了系列的一般版本：

Sum = ∑ i*(n^2 - i^2) for i = 1 to i = n.

相同的系列可以写成：

Sum =  n^2∑ i - ∑ i^3

我们已经知道计算1到n的所有数字的和以及1到n的所有数字的立方和的公式:

1到n的所有数字的和

n* ( n+1 )/2

其中 n 是给定的数字。

现在，从 1 到 n 的所有数字的立方之和

(n*( n+1 )/2)^2

所以，给定的系列可以写成-

Sum = n^2 * ( n*( n+1 )/2 ) – ( n*( n+1 )/2 )^2

求和可以进一步简化为-

Sum = ( n * (n+1)/2 )*( n^2 - ( n * (n+1)/2 ))
Sum = n^2 * ( n+1 )/2 * ( n^2 – (n * ( n+1))/2)
Sum = n^2 * ( n+1 ) * ( n-1 )/4
Sum = n^2 * ( n^2 -1 )/4
Sum = (n^4)/4 – (n^2)/4

因此，我们只需要计算Sum = (n^4)/4 – (n^2)/4，对于任何n，以得到序列的所需总和。

例子

这种方法的代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main () {
   int num = 5;
   long long sum = 0;
   sum = num*num*(num*num-1)/4;
   cout<< " The sum of the series (n^2-1^2) + 2(n^2-2^2) + …. n(n^2-n^2) for n = " << num << " is " <<sum;
   return 0;
}

输出

The sum of the series (n^2-1^2) + 2(n^2-2^2) + …. n(n^2-n^2) for n = 5 is 150

复杂度

时间复杂度 – O(1)，因为我们只是使用我们推导出的公式计算所需的总和。

空间复杂度 – 因为我们没有使用任何外部空间，所以这种方法的空间复杂度为O(1)。

结论 – 在这篇文章中，我们讨论了两种计算所需系列总和的方法，并在第二种方法中将时间复杂度降低到常数。