C++ 在完全图中，通过精确经过K条边到达起始节点的方式数

介绍

在C语言中，可以使用不同的方法计算通过精确经过K条边到达起始节点的方式数。一种方法是利用蛮力递归，其中我们检查所有可能的路径。另一种方法是使用动态规划，其中我们存储和重复使用中间结果以避免重复计算。此外，存在一个数学公式，可以根据节点和边的数量直接计算出方式数。这些方法可以有效地确定在完全图中通过精确经过K条边返回到起始节点的路径数。

方法一：蛮力递归

算法

• 步骤1： 定义一个名为Paths的函数，该函数接受当前节点、剩余边数（K）和图中节点的总数。

• 步骤2： 如果K为0且当前节点为起始节点，则返回1（因为我们已经到达起始节点）。

• 步骤3： 如果K为0但当前节点不是起始节点，则返回0（因为我们已经用尽了所有边，但没有到达起始节点）。

• 步骤4： 初始化一个变量count为0。

• 步骤5： 对于图中的每个节点i：

如果i不是当前节点，则以i作为当前节点，K-1作为剩余边数，递归调用countPaths函数。

将返回值加到count上。

• 步骤6： 返回count。

示例

#include <stdio.h>

int countPaths(int currNode, int remainingEdges, int totalNodes) {
   if (remainingEdges == 0 && currNode == 0) {
      return 1;
   }
   if (remainingEdges == 0) {
      return 0;
   }

   int count = 0;
   for (int i = 0; i < totalNodes; i++) { 
      if (i != currNode) {
         count += countPaths(i, remainingEdges - 1, totalNodes);
      }
   }
   return count;
}

int main() {
   int totalNodes = 4;
   int K = 3; // Number of edges to travel

   int numPaths = countPaths(0, K, totalNodes);
   printf("Number of ways to reach the starting node after %d edges: %d\n", K, numPaths);

   return 0;
}

输出

Number of ways to reach the starting node after 3 edges: 6

动态规划方法

算法

• 步骤1 − 创建一个大小为(totalNodes x K+1)的二维数组dp，初始化为0。

• 步骤2 − 使用for循环，对于每个i从1到K和每个j从1到totalNodes，执行以下操作 −

对于每个k从1到totalNodes，

如果k没有超过j，则将dp[k][i-1]加到dp[j][i]中。

• 步骤3 − 调用定义的函数countpaths()并将其值传递给变量numpaths。

• 步骤4 − 最后，打印出结果值。

示例

#include <stdio.h>

#define MAX_NODES 100

int countPaths(int totalNodes, int K) {
   int dp[MAX_NODES][MAX_NODES];
   for (int i = 0; i < totalNodes; i++) { 
      for (int j = 0; j <= K; j++) {
         dp[i][j] = 0;
      }
   }

   dp[0][0] = 1;
   for (int i = 1; i <= K; i++) {
      for (int j = 1; j < totalNodes; j++) {
         for (int k = 0; k < totalNodes; k++) {
            if (k != j) {
               dp[j][i] += dp[k][i - 1];
            }
         }
      }
   }

   int numPaths = 0;
   for (int i = 0; i < totalNodes; i++) {
      numPaths += dp[i][K];
   }
   return numPaths;
}

int main() {
   int totalNodes = 4; 
   int K = 3; // Number of edges to travel

   int numPaths = countPaths(totalNodes, K);
   printf("Number of ways to reach the starting node after %d edges: %d\n", K, numPaths);

   return 0;
}

输出

Number of ways to reach the starting node after 3 edges: 12

结论

暴力递归方法全面地考虑了所有可能的方式。动态规划方法通过存储中间结果来优化计算。最后，一种数学公式提供了基于节点和边数的直接计算方法。这些方法提供了有效的解决方案来确定在具有K条边的完全图中返回到起始节点的路径的数量。通过使用这些方法，我们将能够在C语言中成功解决这个问题。