极客笔记C++ 在有向加权图中，包含最多K个节点的给定节点之间的最小路径成本
介绍
在图论中，找到在有向加权图中两个给定节点之间的最小路径成本，同时确保路径包含最多K个节点，可能是一个重大的挑战。这个问题在不同的领域中有不同的应用，包括交通系统、物流规划和网络优化。在本文中，我们使用C语言研究了两种不同的方法来解决这个问题。每种方法都利用一种特殊的算法过程来发现成本最低的路径，同时考虑节点数量的限制。
方法一：动态规划（自底向上方法）
算法
- 第一步 - 创建一个二维表格，用于存储从源节点到每个顶点的最小路径成本，其中最多包含K个节点。
-
第二步 - 初始化表格的所有组件为一个较大的值，除了源节点，它被设置为0。
-
第三步 - 迭代K次顶点。对于每个顶点，迭代所有顶点。
-
第四步 - 更新表格中的最小成本，作为当前成本和通过K-1个节点之间的任何中间节点到达顶点的成本之间的最小值。
-
第五步 - 源节点到目标节点的最小路径成本，最多包含K个节点，是目标顶点的表中的值。
示例
#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#define V 5
#define INF INT_MAX
int min(int a, int b) {
return (a < b) ? a : b;
}
int minCostPath(int graph[V][V], int src, int dest, int K) {
int dp[V][K + 1];
for (int i = 0; i < V; i++) {
for (int j = 0; j <= K; j++) {
dp[i][j] = INF;
}
}
dp[src][0] = 0;
for (int k = 1; k <= K; k++) {
for (int i = 0; i < V; i++) {
for (int j = 0; j < V; j++) {
if (graph[i][j] != 0 && dp[i][k - 1] != INF) {
dp[j][k] = min(dp[j][k], dp[i][k - 1] + graph[i][j]);
}
}
}
}
int minCost = INF;
for (int k = 0; k <= K; k++) {
minCost = min(minCost, dp[dest][k]);
}
return minCost;
}
int main() {
int graph[V][V] = {
{0, 10, 3, 2, 0},
{0, 0, 0, 7, 0},
{0, 0, 0, 6, 0},
{0, 0, 0, 0, 2},
{0, 0, 0, 0, 0}
};
int src = 0;
int dest = 4;
int K = 2;
int minCost = minCostPath(graph, src, dest, K);
printf("Minimum cost of path from %d to %d with at most %d nodes: %d\n", src, dest, K, minCost);
return 0;
}
输出
Minimum cost of path from 0 to 4 with at most 2 nodes: 4
方法2：深度优先搜索（DFS）
算法
-
步骤1 - 创建一个已访问数组来追踪访问的顶点，并初始化一个变量来存储最小成本路径为无限大。
-
步骤2 - 实现一个深度优先搜索（DFS）函数，函数需要传入当前顶点、成本、路径节点数和目标顶点作为参数。
-
步骤3 - 在DFS函数内，检查当前顶点是否为目标顶点且节点数小于等于K。如果是，则将最小成本路径更新为当前成本和最小成本路径的较小值。
-
步骤4 - 如果节点数大于K，则返回。标记当前顶点为已访问，并递归调用DFS函数以处理所有未访问的相邻顶点，将成本和检查方式升级。
-
步骤5 - 完成DFS后，最小成本路径的值表示从源到目标的路径中最小的成本，且节点数不超过K。
示例
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <limits.h>
#define V 5
#define INF INT_MAX
int min(int a, int b) {
return (a < b) ? a : b;
}
void dfs(int graph[V][V], int src, int dest, int K, bool visited[], int cost, int count, int* minCost) {
if (src == dest && count <= K) {
*minCost = min(*minCost, cost);
return;
}
if (count > K)
return;
visited[src] = true;
for (int i = 0; i < V; i++) {
if (graph[src][i] != 0 && !visited[i]) {
dfs(graph, i, dest, K, visited, cost + graph[src][i], count + 1, minCost);
}
}
visited[src] = false;
}
int minCostPath(int graph[V][V], int src, int dest, int K) {
bool visited[V];
for (int i = 0; i < V; i++) {
visited[i] = false;
}
int minCost = INF;
dfs(graph, src, dest, K, visited, 0, 0, &minCost);
return minCost;
}
int main() {
int graph[V][V] = {
{0, 10, 3, 2, 0},
{0, 0, 0, 7, 0},
{0, 0, 0, 6, 0},
{0, 0, 0, 0, 2},
{0, 0, 0, 0, 0}
};
int src = 0;
int dest = 4;
int K = 2;
int minCost = minCostPath(graph, src, dest, K);
printf("Minimum cost of path from %d to %d with at most %d nodes: %d\n", src, dest, K, minCost);
return 0;
}
输出
Minimum cost of path from 0 to 4 with at most 2 nodes: 4
结论
在本文中，我们讨论了两种决定在一个协调和加权图中两个给定节点之间的最小成本路径的策略，额外要求路径包含最多K个节点。对于相同的示例输入，这两种策略都允许相同且改进的结果。所使用的策略取决于个人的需求以及图形和当前问题的属性。通过了解这些技术，设计师可以有效地解决带有节点数量限制的最小成本路径问题，从中获得有价值的资源分配经验。