极客笔记C++ 打印给定第n个项的总和的程序
问题说明包括打印序列的总和，其中给出了第N个项。
输入中将给出N的值。我们需要找到序列的总和，其中序列的第N个项由以下公式给出：
N^{2}−(N−1)^{2}
让我们通过以下示例来理解这个问题：
输入
N=5
输出
25
解释 - 给定的N的值为5。序列的前5个项为：
\mathrm{N=1,1^{2}−(1−1)^{2}=1}
\mathrm{N=2,2^{2}−(2−1)^{2}=3}
\mathrm{N=3,3^{2}−(3−1)^{2}=5}
\mathrm{N=4,4^{2}−(4−1)^{2}=7}
\mathrm{N=5,5^{2}−(5−1)^{2}=9}
序列的前5个项的和为1+3+5+7+9=25。因此，输出为25。
输入
N=8
输出
64
说明 − 使用序列第 N 项的公式计算前 8 项的和，
\mathrm{N=1,1^{2}−(1−1)^{2}=1}
\mathrm{N=2,2^{2}−(2−1)^{2}=3}
\mathrm{N=3,3^{2}−(3−1)^{2}=5}
\mathrm{N=4,4^{2}−(4−1)^{2}=7}
\mathrm{N=5,5^{2}−(5−1)^{2}=9}
\mathrm{N=6,6^{2}−(6−1)^{2}=11}
\mathrm{N=7,7^{2}−(7−1)^{2}=13}
\mathrm{N=8,8^{2}−(8−1)^{2}=15}
和将为 1+3+5+7+9+11+13+15=64，这是所需的输出。
让我们看看在 C++ 中解决这个问题的不同方法。
方法 1
问题的朴素解决方法可能是计算直到 N 的序列中的每一项，并将它们相加以获得序列的和，其中序列的第 N 项是 \mathrm{N^{2}−(N−1)^{2}}
实现方法来获得和直到 N 的序列的步骤：
- 我们将简单地创建一个函数来计算序列直到它的第 N 项的和，其中序列的每一项由 \mathrm{N^{2}−(N−1)^{2}} 给出。
-
初始化一个变量来存储 N 项序列的和。该变量必须是 long long 数据类型，以确保对于较大的 N 值的 sum 的值。
-
在 for 循环中迭代 i=0 到 i<=N，以计算 N 项序列的和。
-
对于每次迭代，我们将使用公式 \mathrm{N^{2}−(N−1)^{2}} 将第 i 项的和添加到变量中，因为它表示序列的第 N 项。
-
在迭代 N 次后，返回变量，它将是前 N 项序列的和，其中 N 是用户输入。
示例
//C++ code to find the sum of the sequence of first N terms where
//Nth term is given by N^2-(N-1)^2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//function to calculate the sum of the sequence until N
long long sum(int N){
long long a=0; //to store the sum of the sequence
//iterating to calculate every term of the sequence from 1 to N
for(int i=1;i<=N;i++){
//using the formula N^2-(N-1)^2
a = a + (i * i - (i-1)*(i-1)); //adding each term of the sequence until N
}
return a;
}
int main()
{
int N;
N=8; //input
//calling the function
cout<<"The sum of the sequence up to "<<N<<" terms is: "<<sum(N)<<endl;
N=54;
cout<<"The sum of the sequence up to "<<N<<" terms is: "<<sum(N)<<endl;
return 0;
}
输出
The sum of the sequence up to 8 terms is: 64
The sum of the sequence up to 54 terms is: 2916
时间复杂度 − O(N)，因为我们使用for循环迭代N次来计算序列的每一项并将它们相加。
空间复杂度 − O(1)，因为没有使用额外的空间来计算总和。
方法−2（高效方法）
尽管可以使用序列第N项的公式同时计算序列的每个项并将它们相加，但由于该序列形成了等差数列（A.P.）的和的概念，我们可以使用求前N项等差数列和的方式来计算。
如果我们使用序列第N项的公式\mathrm{N^{2}-(N−1)^{2}}计算序列的前几个数字并观察模式，我们得到
序列的第一个数字是1。
序列的第二个数字是3。
同样，
\mathrm{N=3,3^{2}−(3−1)^{2}=5}
\mathrm{N=4,4^{2}−(4−1)^{2}=7}
\mathrm{N=5,5^{2}−(5−1)^{2}=9}
使用公式计算的序列前几个数字是1, 3, 5, 7, 9, 11, 13……。
我们可以看出，该序列只是以1为首项，2为公差的等差数列。
等差数列前N项的和由以下公式给出，
\mathrm{S_{N}=\frac{N}{2}(2*a+(N−1)d)}，其中a为等差数列的首项，d为等差数列的公差。
要计算序列的前N项之和，我们将使用以上公式。代入数值，我们得到
\mathrm{序列的和=\frac{N}{2}(2*1+(N−1)2):（其中a=1:和:d=2）}
\mathrm{=\frac{2*N}{2}(1+N−1)=N^{2}}
序列的和，直到第N项，其中N项由\mathrm{N^{2}−(N−1)^{2}}给出，等于N的平方，其中N是项数。
在C++中实现该方法时，遵循以下步骤：
- 我们将创建一个函数来获取序列的和，直到第N项，其中N项为\mathrm{N^{2}−(N−1)^{2}}
-
初始化一个变量来存储序列的和，并将N的平方存储在其中，因为它给出了前N项序列的和。
-
返回该变量，这将是所需的输出。
示例
//C++ code to find the sum of the sequence of first N terms where
//Nth term is given by N^2-(N-1)^2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//function to calculate the sum of the sequence until N terms
long long sum(int N){
long long a=0; //to store the sum of the sequence
a = N*N; //the formula to give the sum of sequence up to N terms
return a;
}
int main()
{
int N;
N=75; //input
//calling the function
cout<<"The sum of the sequence up to "<<N<<" terms is: "<<sum(N)<<endl;
N=1000;
cout<<"The sum of the sequence up to "<<N<<" terms is: "<<sum(N)<<endl;
return 0;
}
输出
The sum of the sequence up to 75 terms is: 5625
The sum of the sequence up to 1000 terms is: 1000000
时间复杂度 − O(1)，计算序列的和只需常数时间。
空间复杂度 − O(1)，不需要额外空间。
结论
本文讨论了一个问题：找到第N个项为 \mathrm{N^{2}−(N−1)^{2}} 的序列的和。我们讨论了解决这个问题的朴素方法，以及在C++中用常数时间和空间找到序列前N项和的高效解决方案。
希望您阅读本文后能够理解问题和解决问题的方法。