C++ 程序寻找机器ε

机器ε是一个有趣的数学问题，在计算机科学中有非常广泛的应用，比如用于计算无穷级数、证明算法复杂度。本文将介绍如何使用C++实现机器ε的程序。

什么是机器ε？

机器ε是一个小于1的最小浮点数，使得1.0 + ε > 1.0。在计算机中，由于浮点数的精度限制，不可能表示比机器ε更小的正实数。机器ε的值是与计算机存储浮点数的位数和精度有关的。

C++实现机器ε

在C++中实现机器ε的方法是利用浮点数的指数位，一位一位地减小，找到最小的那个指数位，使得1.0 + 2的指数位次幂的倒数大于1.0。

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
    double epsilon = 1.0;
    while (1.0 + epsilon > 1.0) {
        epsilon /= 2.0;
    }
    cout << "Machine epsilon is " << 2.0 * epsilon << endl;
    return 0;
}

在上述代码中，while循环语句中，每一次将epsilon除以2.0，直到1.0 + epsilon小于等于1.0。这时候，epsilon的值就是机器ε的一半。最后乘以2.0得到机器ε的值。

说明

在C++中，浮点数类型有float、double、long double三种，它们所占用的字节数分别是4、8、16字节。当一个浮点数变量超过了这个字节数，它的值就会丢失，这就是所谓的精度限制。因此，在实际编程中，需要根据计算的要求选择合适的浮点数类型。

代码说明

变量epsilon的数据类型为double，因为double所占用的字节数比float更大，精度也更高。
while循环条件为1.0 + epsilon > 1.0，即当epsilon足够小时，1.0 + epsilon的值不再变化。此时的epsilon就是机器ε的一半。
输出结果需要乘以2.0，因为在while循环中，得到的是机器ε的一半。

测试用例

为了验证代码的正确性，下面列出了一些测试用例。

测试用例1

输入:

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
    double epsilon = 1.0;
    while (1.0 + epsilon > 1.0) {
        epsilon /= 2.0;
    }
    cout << "Machine epsilon is " << 2.0 * epsilon << endl;
    return 0;
}

输出:

Machine epsilon is 2.22045e-16

测试用例2

输入:

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
    double epsilon = 1.0;
    while (1.0 + epsilon > 1.0) {
        epsilon /= 3.0;
    }
    cout << "Machine epsilon is " << 3.0 * epsilon << endl;
    return 0;
}

输出: