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如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

参考：How to plot a normal distribution with Matplotlib in Python

正态分布，也称为高斯分布，是统计学和概率论中最重要的概率分布之一。在数据分析和可视化中，能够绘制正态分布图是一项非常有用的技能。本文将详细介绍如何使用Python的Matplotlib库来绘制正态分布图，包括基本的正态分布图、自定义参数的正态分布图、多个正态分布的对比图等多种情况。我们将通过多个示例来展示Matplotlib的强大功能，帮助读者掌握绘制正态分布图的各种技巧。

1. 基本的正态分布图

首先，让我们从最基本的正态分布图开始。我们将使用NumPy库生成正态分布的数据，然后使用Matplotlib绘制直方图和概率密度函数（PDF）曲线。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成正态分布数据
mu, sigma = 0, 1  # 均值和标准差
data = np.random.normal(mu, sigma, 1000)

# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# 绘制直方图
ax.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.7, color='skyblue', edgecolor='black')

# 生成用于绘制PDF的x值
x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 100)

# 计算PDF
pdf = (1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-(x - mu)**2 / (2 * sigma**2))

# 绘制PDF曲线
ax.plot(x, pdf, 'r-', lw=2, label='Normal PDF')

# 设置标题和标签
ax.set_title('Normal Distribution (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Value', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Density', fontsize=12)

# 添加图例
ax.legend(fontsize=10)

# 显示网格
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们首先使用np.random.normal()生成了1000个服从正态分布的随机数。然后，我们创建了一个图形和坐标轴，使用ax.hist()绘制了数据的直方图。接下来，我们计算了理论上的概率密度函数（PDF），并使用ax.plot()绘制了PDF曲线。最后，我们添加了标题、标签和图例，并显示了网格线以增强可读性。

2. 自定义参数的正态分布图

在实际应用中，我们可能需要绘制具有不同均值和标准差的正态分布图。下面的示例展示了如何绘制三个不同参数的正态分布图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义三组不同的均值和标准差
params = [(0, 1), (2, 1.5), (-1, 0.5)]
colors = ['blue', 'green', 'red']

# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 7))

# 为每组参数绘制正态分布
for (mu, sigma), color in zip(params, colors):
    # 生成x值
    x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 100)

    # 计算PDF
    pdf = (1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-(x - mu)**2 / (2 * sigma**2))

    # 绘制PDF曲线
    ax.plot(x, pdf, color=color, lw=2, label=f'μ={mu}, σ={sigma}')

# 设置标题和标签
ax.set_title('Multiple Normal Distributions (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Value', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Density', fontsize=12)

# 添加图例
ax.legend(fontsize=10)

# 显示网格
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们定义了三组不同的均值和标准差参数。我们使用循环为每组参数计算并绘制了相应的PDF曲线。通过使用不同的颜色和标签，我们可以清楚地区分不同的正态分布。

3. 累积分布函数（CDF）的绘制

除了概率密度函数，累积分布函数（CDF）也是描述正态分布的重要工具。以下示例展示了如何绘制正态分布的CDF。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# 生成x值
x = np.linspace(-4, 4, 100)

# 计算CDF
cdf = norm.cdf(x)

# 绘制CDF曲线
ax.plot(x, cdf, 'b-', lw=2, label='Normal CDF')

# 设置标题和标签
ax.set_title('Cumulative Distribution Function (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Value', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Cumulative Probability', fontsize=12)

# 添加图例
ax.legend(fontsize=10)

# 显示网格
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

# 设置y轴范围
ax.set_ylim(0, 1.1)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们使用了SciPy库的norm.cdf()函数来计算正态分布的累积分布函数。CDF表示随机变量小于或等于某个值的概率，因此y轴的范围被设置为0到1。

4. Q-Q图（Quantile-Quantile Plot）

Q-Q图是用于比较两个概率分布的图形方法，特别适用于检验数据是否服从正态分布。以下示例展示了如何使用Matplotlib绘制Q-Q图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 生成正态分布数据
np.random.seed(42)
data = np.random.normal(0, 1, 1000)

# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 10))

# 绘制Q-Q图
stats.probplot(data, dist="norm", plot=ax)

# 设置标题和标签
ax.set_title('Q-Q Plot (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Theoretical Quantiles', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Sample Quantiles', fontsize=12)

# 显示网格
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们使用SciPy的stats.probplot()函数来生成Q-Q图。如果数据点大致落在对角线上，则表明数据近似服从正态分布。

5. 3D正态分布图

Matplotlib还支持绘制3D图形，我们可以用它来可视化二维正态分布。以下示例展示了如何创建3D正态分布图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 创建网格点
x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = np.linspace(-3, 3, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 计算Z值（概率密度）
Z = (1 / (2 * np.pi)) * np.exp(-0.5 * (X**2 + Y**2))

# 创建3D图形
fig = plt.figure(figsize=(12, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 绘制3D表面
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis')

# 设置标题和标签
ax.set_title('3D Normal Distribution (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('X', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Y', fontsize=12)
ax.set_zlabel('Density', fontsize=12)

# 添加颜色条
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们使用np.meshgrid()创建了一个二维网格，然后计算了每个网格点上的概率密度。使用ax.plot_surface()函数，我们绘制了一个3D表面图，展示了二维正态分布的形状。

6. 正态分布的置信区间

在统计分析中，置信区间是一个重要的概念。以下示例展示了如何在正态分布图上标注置信区间。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 设置参数
mu, sigma = 0, 1
confidence_level = 0.95

# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))

# 生成x值
x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 100)

# 计算PDF
pdf = stats.norm.pdf(x, mu, sigma)

# 绘制PDF曲线
ax.plot(x, pdf, 'b-', lw=2, label='Normal PDF')

# 计算置信区间
ci = stats.norm.interval(confidence_level, mu, sigma)

# 填充置信区间
ax.fill_between(x, pdf, where=(x >= ci[0]) & (x <= ci[1]), color='skyblue', alpha=0.5, 
                label=f'{confidence_level*100:.0f}% Confidence Interval')

# 设置标题和标签
ax.set_title('Normal Distribution with Confidence Interval (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Value', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Density', fontsize=12)

# 添加图例
ax.legend(fontsize=10)

# 显示网格
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们使用stats.norm.interval()函数计算了95%的置信区间，然后使用ax.fill_between()函数在图上填充了这个区间。这种可视化方法可以直观地展示数据的分布和不确定性。

7. 正态分布的概率计算

Matplotlib不仅可以用于绘图，还可以与其他库结合使用来进行概率计算和可视化。以下示例展示了如何计算并可视化正态分布中特定区间的概率。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 设置参数
mu, sigma = 0, 1
lower_bound, upper_bound = -1, 1

# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))

# 生成x值
x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 1000)

# 计算PDF
pdf = stats.norm.pdf(x, mu, sigma)

# 绘制PDF曲线
ax.plot(x, pdf, 'b-', lw=2, label='Normal PDF')

# 填充指定区间
x_fill = np.linspace(lower_bound, upper_bound, 100)
ax.fill_between(x_fill, stats.norm.pdf(x_fill, mu, sigma), color='skyblue', alpha=0.5)

# 计算概率
probability = stats.norm.cdf(upper_bound, mu, sigma) - stats.norm.cdf(lower_bound, mu, sigma)

# 设置标题和标签
ax.set_title(f'Probability between {lower_bound} and {upper_bound}: {probability:.4f} (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Value', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Density', fontsize=12)

# 添加图例
ax.legend(fontsize=10)

# 显示网格
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们计算并可视化了正态分布中-1到1之间的概率。我们使用stats.norm.cdf()函数计算累积概率，然后用ax.fill_between()函数填充相应的区域。这种方法可以直观地展示特定区间的概率。

8. 正态分布的比较

在某些情况下，我们可能需要比较多个正态分布。以下示例展示了如何在同一图表中比较多个正态分布，并使用不同的线型和颜色来区分它们。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 定义多个正态分布的参数
distributions = [
    {'mu': 0, 'sigma': 1, 'color': 'blue', 'label': 'Standard Normal'},
    {'mu': 1, 'sigma': 1.5, 'color': 'red', 'label': 'Shifted and Wider'},
    {'mu': -1, 'sigma': 0.5, 'color': 'green', 'label': 'Shifted and Narrower'}
]

# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))

# 生成x值
x = np.linspace(-5,5, 1000)

# 绘制每个分布
for dist in distributions:
    pdf = stats.norm.pdf(x, dist['mu'], dist['sigma'])
    ax.plot(x, pdf, color=dist['color'], lw=2, label=dist['label'])

# 设置标题和标签
ax.set_title('Comparison of Normal Distributions (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Value', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Density', fontsize=12)

# 添加图例
ax.legend(fontsize=10)

# 显示网格
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们定义了三个不同的正态分布，每个分布都有自己的均值、标准差、颜色和标签。我们使用循环来绘制每个分布的PDF曲线，这样可以方便地比较它们的形状和位置。

9. 正态分布的箱线图

箱线图是另一种用于可视化数据分布的有效工具。以下示例展示了如何为正态分布数据创建箱线图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成正态分布数据
np.random.seed(42)
data = np.random.normal(0, 1, 1000)

# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# 绘制箱线图
ax.boxplot(data, vert=False)

# 设置标题和标签
ax.set_title('Box Plot of Normal Distribution (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Value', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Distribution', fontsize=12)

# 显示网格
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们使用ax.boxplot()函数创建了一个水平的箱线图。箱线图显示了数据的中位数、四分位数范围和异常值，提供了数据分布的快速概览。

10. 正态分布的核密度估计

核密度估计（KDE）是一种非参数方法，用于估计随机变量的概率密度函数。以下示例展示了如何使用KDE来可视化正态分布数据。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 生成正态分布数据
np.random.seed(42)
data = np.random.normal(0, 1, 1000)

# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))

# 绘制直方图
ax.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.7, color='skyblue', edgecolor='black')

# 计算KDE
kde = stats.gaussian_kde(data)
x_range = np.linspace(data.min(), data.max(), 100)
ax.plot(x_range, kde(x_range), 'r-', lw=2, label='KDE')

# 绘制真实的PDF
true_pdf = stats.norm.pdf(x_range, 0, 1)
ax.plot(x_range, true_pdf, 'g--', lw=2, label='True PDF')

# 设置标题和标签
ax.set_title('Kernel Density Estimation vs True PDF (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Value', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Density', fontsize=12)

# 添加图例
ax.legend(fontsize=10)

# 显示网格
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们首先绘制了数据的直方图，然后使用stats.gaussian_kde()函数计算了KDE。我们还绘制了真实的PDF曲线以进行比较。这种方法可以帮助我们了解KDE如何近似真实的概率密度函数。

11. 正态分布的残差图

在回归分析中，残差图是一个重要的诊断工具。以下示例展示了如何创建一个模拟的残差图，假设残差服从正态分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成模拟数据
np.random.seed(42)
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = 2 * x + 1 + np.random.normal(0, 1, 100)

# 拟合线性模型
coeffs = np.polyfit(x, y, 1)
y_fit = np.polyval(coeffs, x)

# 计算残差
residuals = y - y_fit

# 创建图形和坐标轴
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 10), sharex=True)

# 绘制散点图和拟合线
ax1.scatter(x, y, alpha=0.7)
ax1.plot(x, y_fit, 'r-', lw=2)
ax1.set_title('Linear Regression (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax1.set_ylabel('Y', fontsize=12)

# 绘制残差图
ax2.scatter(x, residuals, alpha=0.7)
ax2.axhline(y=0, color='r', linestyle='--')
ax2.set_title('Residual Plot', fontsize=16)
ax2.set_xlabel('X', fontsize=12)
ax2.set_ylabel('Residuals', fontsize=12)

# 显示网格
ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们首先生成了一些模拟数据并拟合了一个线性模型。然后，我们计算了残差并创建了两个子图：一个显示原始数据和拟合线，另一个显示残差。如果残差呈现随机分布且大致对称分布在零线周围，这通常表明模型拟合得较好。

12. 正态分布的概率图

概率图是另一种用于检验数据是否服从正态分布的图形方法。以下示例展示了如何创建正态概率图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 生成正态分布数据
np.random.seed(42)
data = np.random.normal(0, 1, 1000)

# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 10))

# 创建概率图
stats.probplot(data, dist="norm", plot=ax)

# 设置标题和标签
ax.set_title('Normal Probability Plot (how2matplotlib.com)', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Theoretical Quantiles', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Sample Quantiles', fontsize=12)

# 显示网格
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

如何使用Python的Matplotlib绘制正态分布图

在这个示例中，我们使用stats.probplot()函数创建了一个正态概率图。如果数据点大致落在对角线上，则表明数据近似服从正态分布。这种图形可以帮助我们识别数据中的非正态性或异常值。

结论

通过本文的详细介绍和多个示例，我们展示了如何使用Python的Matplotlib库来绘制各种类型的正态分布图。从基本的概率密度函数和累积分布函数，到更高级的3D图形、置信区间和概率计算，我们涵盖了多个方面。这些技巧不仅适用于正态分布，还可以应用于其他类型的概率分布。

掌握这些可视化技巧对于数据分析、统计学习和机器学习都非常有帮助。通过合适的可视化，我们可以更好地理解数据的分布特征，发现潜在的模式和异常，并为进一步的分析提供直观的指导。

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