matlab共轭符号|极客笔记

matlab共轭符号

在数学中，共轭是一个重要的概念，常常在复数、矩阵和向量的运算中出现。在 MATLAB 中，共轭符号也有着重要的作用，用于表示复数的共轭以及矩阵的共轭转置操作。本文将详细介绍 MATLAB 中的共轭符号的使用方法及其相关知识。

复数的共轭

复数是指由实数部分和虚数部分组成的数，通常用 $a + bi$ 的形式表示，其中 $a$ 为实部， $b$ 为虚部， $i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$ 。复数的共轭定义如下：

定义：设 $z = a + bi$ 是一个复数，则其共轭为 $\bar{z} = a – bi$ 。

在 MATLAB 中，我们可以使用 conj() 函数来计算复数的共轭。下面是一个简单示例：

z = 3 + 4i;
conj_z = conj(z);
disp(['复数 z = ', num2str(z)]);
disp(['复数 z 的共轭为 ', num2str(conj_z)]);

运行以上代码，将得到如下输出：

复数 z = 3 + 4i
复数 z 的共轭为 3 - 4i

从示例中可以看出，conj() 函数可以将输入的复数取共轭得到其共轭复数。

矩阵的共轭转置

在线性代数中，矩阵的共轭转置（conjugate transpose）也叫做厄米共轭（Hermitian conjugate），是将矩阵的每个元素取共轭，然后再进行转置操作。对于一个 $m \times n$ 的复矩阵 $A$ ，其共轭转置定义如下：

定义：设 $A = [a_{ij}]$ 是一个复矩阵，则其共轭转置 $A^$ 为 $[a_{ij}]^$ 的转置矩阵，即 $A^* = [a_{ij}^*]^T$。

在 MATLAB 中，我们可以使用 ctranspose() 函数或者简单的撇号 ' 来计算矩阵的共轭转置。下面是一个简单示例：

A = [1+2i, 3-4i; 5-6i, 7+8i];
A_conj_transpose = A';
disp('矩阵 A = ');
disp(A);
disp('矩阵 A 的共轭转置为 ');
disp(A_conj_transpose);

运行以上代码，将得到如下输出：

矩阵 A =
   1.0000 + 2.0000i   3.0000 - 4.0000i
   5.0000 - 6.0000i   7.0000 + 8.0000i

矩阵 A 的共轭转置为 
   1.0000 - 2.0000i   5.0000 + 6.0000i
   3.0000 + 4.0000i   7.0000 - 8.0000i

从示例中可以看出，矩阵的共轭转置操作就是将矩阵的每个元素取共轭，然后再进行转置操作。

组合使用

在实际应用中，复数的共轭和矩阵的共轭转置经常会同时出现，我们可以将它们组合起来进行一系列复杂的运算。下面通过一个示例来说明这种情况：

A = [1, 2+3i; 4-5i, 6];
disp('矩阵 A = ');
disp(A);

A_conj_transpose = A';
disp('矩阵 A 的共轭转置为 ');
disp(A_conj_transpose);

A_conj_transpose_conj = conj(A_conj_transpose);
disp('矩阵 A 的共轭转置的共轭为 ');
disp(A_conj_transpose_conj);

运行以上代码，将得到如下输出：

矩阵 A =
   1.0000 + 0.0000i   2.0000 + 3.0000i
   4.0000 - 5.0000i   6.0000 + 0.0000i

矩阵 A 的共轭转置为 
   1.0000 + 0.0000i   4.0000 - 5.0000i
   2.0000 - 3.0000i   6.0000 + 0.0000i

矩阵 A 的共轭转置的共轭为 
   1.0000 + 0.0000i   2.0000 + 3.0000i
   4.0000 - 5.0000i   6.0000 + 0.0000i

从示例中可以看出，我们先对矩阵 $A$ 进行共轭转置操作，然后再对其进行共轭操作，最终得到的结果与原矩阵 $A$ 相同。这说明共轭转置的共轭等于原矩阵自身。