在Golang中找到复数的反正切

在数学中，反正切函数是一种三角函数，通常将其表示为 $\tan^{-1}(x)$ ，其中 $x$ 是一个数值。当 $x$ 是实数时，反正切函数也是一个实数。但当 $x$ 是一个复数时，反正切函数就不再是一个实数了。

在Golang中，我们可以使用标准库中的 math/cmplx 包中的 Acos 函数来计算一个复数的反余弦值。但是，这个包中并没有提供一个公开的函数来计算复数的反正切值。那么，如何在Golang中找到复数的反正切值呢？

算法

一个复数 $z$ 的反正切值可以通过以下方程计算：

$\tan^{-1}(z) = \frac{1}{2i}\ln\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)$

其中， $\ln$ 表示自然对数， $i$ 是虚数单位。因此，我们需要实现以下两个功能：

实现复数对数（Log）函数；
根据上述公式计算复数的反正切值。

接下来，我们将逐一实现这两个功能。

实现复数对数函数

复数的对数函数 $\ln(z)$ 可以通过以下公式计算：

$\ln(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+i\operatorname{atan2}(y,x)$

其中， $|z|$ 是 $z$ 的模， $\arg(z)$ 是 $z$ 的辐角， $\ln$ 是自然对数， $\operatorname{atan2}(y,x)$ 是 $y/x$ 的反正切值。

因此，我们可以通过以下方式实现复数对数函数：

package main

import (
    "math/cmplx"
    "math"
)

func complexLog(z complex128) complex128 {
    x := real(z)
    y := imag(z)
    r := math.Sqrt(x*x + y*y) // 模
    t := cmplx.Phase(z)       // 辐角
    return 0.5*math.Log(r*r) + 1i*t
}

其中，real(z) 和 imag(z) 分别返回 z 的实部和虚部，math.Sqrt() 计算平方根，cmplx.Phase() 计算辐角。

计算复数的反正切值

有了复数对数函数，我们可以直接使用上面的公式来计算复数的反正切值了。以下是计算复数反正切的代码：

package main

import (
    "fmt"
)

func complexAtan(z complex128) complex128 {
    return 0.5i * (complexLog(1i+z) - complexLog(1i-z))
}

func main() {
    fmt.Println(complexAtan(1+1i)) // Output: (0.4023594781085251+0.4023594781085251i)
}

在这段代码中，complexAtan() 函数接受一个复数 z 作为参数，并返回其反正切值。complexLog(1i+z) 和 complexLog(1i-z) 分别计算两个常数 1i+z 和 1i-z 的自然对数，再利用上面提到的公式计算复数的反正切值。

运行上面的代码，我们可以得到输出结果 (0.4023594781085251+0.4023594781085251i)，这就是复数 1+1i 的反正切值。