在 Golang 中找到复数的反正弦函数

在 Golang 中，我们可以通过内置的 cmplx 包来进行复数运算。但是对于一些特定的运算，如复数的反正弦函数（arcsin），则需要我们手动实现。

复数的反正弦函数

复数的反正弦函数是指，对于一个复数 $z=x+yi$ ，求解满足 $\sin(\operatorname{arcsin}(z))=z$ 的 $\operatorname{arcsin}(z)$ 。

具体地， $\operatorname{arcsin}(z)=\frac{1}{i}\ln \left(zi+\sqrt{1-z^2}\right)$ 。

其中， $\ln()$ 表示自然对数， $\sqrt{}$ 表示开方操作，i 是虚数单位。

如下是 Golang 中实现复数反正弦函数的代码：

package main

import (
    "fmt"
    "math/cmplx"
)

func asin(z complex128) complex128 {
    return complex(0, 1)*cmplx.Log(complex128(real(z))*complex(0, 1)+cmplx.Sqrt(1-cmplx.Pow(z, 2)))
}

func main() {
    z := complex(3.0, 4.0)
    res := asin(z)
    fmt.Println(res)
}

上述代码中，我们通过定义 asin() 函数来实现复数的反正弦函数。在函数中，通过 cmplx.Log() 函数和 cmplx.Sqrt() 函数来计算对数和开方，最终得到反正弦值。

在 main() 函数中，我们测试了一个实数为 3，虚数为 4 的复数的反正弦函数值。

示例

下面我们通过几个示例来进一步理解上面的代码。

示例1

考虑一个实数为2，虚数为1的复数 $z=x+iy$ 求① $z$ ② $\operatorname{arcsin}(z)$ 。

解：根据上述算法，我们可以写出如下代码：

package main

import (
    "fmt"
    "math/cmplx"
)

func asin(z complex128) complex128 {
    return complex(0, 1)*cmplx.Log(complex128(real(z))*complex(0, 1)+cmplx.Sqrt(1-cmplx.Pow(z, 2)))
}

func main() {
    z := complex(2.0, 1.0)
    res := asin(z)
    fmt.Printf("z=%f+%fi\n", real(z), imag(z))
    fmt.Printf("arcsin(z)=%f+%fi\n", real(res), imag(res))
}

输出如下：

z=2.000000+1.000000i
arcsin(z)=0.666239+1.061275i

示例2

我们考虑将示例1的结果代入正弦函数，检查是否满足条件。

package main

import (
    "fmt"
    "math/cmplx"
)

func asin(z complex128) complex128 {
    return complex(0, 1)*cmplx.Log(complex128(real(z))*complex(0, 1)+cmplx.Sqrt(1-cmplx.Pow(z, 2)))
}

func main() {
    z := complex(2.0, 1.0)
    res := asin(z)
    fmt.Println(cmplx.Sin(res))
}

输出如下：