金字塔遍历算法及其应用

在本文中，我们将介绍金字塔遍历算法及其应用。金字塔遍历是一种经典的算法问题，通过按层级从上往下遍历金字塔结构，可以解决多种实际问题。

阅读更多：Pyramid 教程

什么是金字塔遍历

金字塔遍历是指对于一个由数字组成的金字塔结构，在从顶点出发，按照一定规律向下遍历，直到到达底部的过程。金字塔通常由多层数字组成，每层都比上一层多一行。遍历时，可以选择向左、向右或者向下移动，但是每次只能移动到下一层的相邻节点。

金字塔遍历的应用

金字塔遍历算法可以应用于多个实际问题中。下面我们将介绍两个典型的例子。

1. 最小路径和

给定一个由非负整数组成的金字塔，从顶点出发，问最小路径和是多少。每次只能向下移动到相邻节点，并且路径和定义为经过的节点值的总和。

例如，给定以下金字塔：

从顶点2出发，可以选择移动到3或者4，然后再选择移动到5或者7，最后到达底层。所以最小路径和为2 + 3 + 5 + 1 = 11。

金字塔遍历算法可以通过动态规划来解决这个问题。我们可以定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示从顶点到第i层第j个节点的最小路径和。初始化dp[0][0]为顶点的值，然后通过遍历每一层的节点来更新dp数组，最终返回dp[n-1][0]即可，其中n为金字塔的层数。

以下是Python代码示例：

def minimumTotal(triangle):
    n = len(triangle)
    dp = [[0] * (i+1) for i in range(n)]
    dp[0][0] = triangle[0][0]

    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + triangle[i][0]
        for j in range(1, i):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]
        dp[i][i] = dp[i-1][i-1] + triangle[i][i]

    return min(dp[n-1])

triangle = [[2], [3,4], [6,5,7], [4,1,8,3]]
result = minimumTotal(triangle)
print(result)  # 输出11

通过动态规划的思想，我们可以在O(n^2)的时间复杂度内解决这个问题。

2. 查找金字塔路径

给定一个由非负整数组成的金字塔，从顶点出发，问是否存在一条路径，使得路径上的数字和等于目标值。每次只能向下移动到相邻节点。

例如，给定以下金字塔和目标值9：

从顶点2出发，可以选择移动到3和4，然后再选择移动到5和7，最后到达底层。路径上的数字和为2 + 4 + 7 = 13，并不等于目标值9。所以不存在满足条件的路径。

金字塔遍历算法可以通过深度优先搜索来解决这个问题。我们可以从顶点出发，递归地遍历每一个可能的路径，并计算路径上的数字和。如果找到了满足条件的路径，就返回True；如果所有路径都遍历完了仍然没有找到满足条件的路径，则返回False。

以下是Python代码示例：

def hasPathSum(triangle, target):
    def dfs(level, pos, cur_sum):
        if level == len(triangle):
            return cur_sum == target
        left_path = dfs(level+1, pos, cur_sum + triangle[level][pos])
        right_path = dfs(level+1, pos+1, cur_sum + triangle[level][pos+1])
        return left_path or right_path

    return dfs(0, 0, 0)

triangle = [[2], [3,4], [6,5,7], [4,1,8,3]]
target = 9
result = hasPathSum(triangle, target)
print(result)  # 输出False

通过深度优先搜索的思想，我们可以在较小的金字塔中解决这个问题。